[논문 리뷰] Crazy Sequential Representation: Numbers from 0 to 11111 in terms of Increasing and Decreasing Orders of 1 to 9

Inder J. Taneja|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 06.

AI-based Problem Solving and Planning참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 1에서 9까지의 숫자를 증가 또는 감소 순서로 정확히 한 번씩 사용하여 0에서 11111까지의 자연수를 체계적으로 탐색한다. 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱 및 괄호와 같은 기본 산술 연산을 활용하여 거의 모든 수를 표현하며, 증가 순서에서 유일하게 해결되지 않은 수는 10958이다. 이 작업은 이전 연구에서 빈도가 높았던 빈도수를 줄이기 위해 뺄셈과 나눗셈을 도입함으로써 확장된 것이다.

ABSTRACT

Natural numbers from 0 to 11111 are written in terms of 1 to 9 in two different ways. The first one in increasing order of 1 to 9, and the second one in decreasing order. This is done by using the operations of addition, multiplication, subtraction, potentiation, and division. In both the situations there are no missing numbers, except one, i.e., 10958 in the increasing case.

연구 동기 및 목표

• 0에서 11111까지의 자연수를 1에서 9까지의 숫자를 엄격히 증가 또는 감소 순서로 정확히 한 번씩 사용하여 표현하는 것.
• 이전 연구에서 약 1,250개의 수가 누락되었던 문제를 뺄셈과 나눗셈 연산을 포함시켜 해결하는 것.
• 증가 순서 표현에서 유일하게 해결되지 않은 수인 10958을 식별하고 문서화하는 것.
• 덧셈, 곱셈, 거듭제곱을 초과하는 연산을 확장했을 때 가능한 표현의 조합 폭발을 탐구하는 것.
• 숫자 시퀀스와 표준 산술 연산을 사용한 순차적 표현의 포괄적인 참고 자료를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자는 증가 또는 감소 순서로 숫자 1에서 9를 정확히 한 번씩 사용하여 표현을 구성한다.
• 기초 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱 및 괄호를 통한 묶음을 포함한다.
• 숫자 연결 및 연산 적용의 재귀적이고 조합적 탐색을 통해 표현을 구성한다.
• 저자는 T.J. Eckman의 도움을 받아 계산 스크립트를 활용하여 복잡한 표현을 검증하고 발견한다.
• 뺄셈과 나눗셈을 체계적으로 적용하여 이전 연구에서 누락된 수를 해결한다.
• 순서 기반 제약 조건 하에서 유효한 모든 연산 조합과 숫자 묶음 조합을 생성하는 데 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 0에서 11111까지의 자연수를 1에서 9까지의 숫자를 증가 순서로 정확히 한 번씩 사용하고 +, −, ×, ÷, ^, 괄호를 사용하여 표현할 수 있는가?
• RQ2 주어진 제약 조건 하에서 증가 순서에서 유일하게 표현이 불가능한 10958은 왜 유일한 수인가?
• RQ3 뺄셈과 나눗셈의 포함이 순차적 수 표현의 완전성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 연산 제약 조건 하에서 숫자 시퀀스로부터 유효한 표현을 생성하는 조합의 복잡도는 어떠한가?
• RQ5 팩토리얼, 제곱근 또는 소수점 연산을 통해 10958의 누락된 표현을 얼마나 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 0에서 11111까지의 모든 수가 +, −, ×, ÷, ^, 괄호를 사용하여 숫자 1에서 9의 증가 및 감소 순서로 성공적으로 표현되었다.
• 증가 순서에서 오직 하나의 수인 10958만이 표현되지 않았으며, 뺄셈과 나눗셈을 광범위하게 사용한 후에도 여전히 해결되지 않았다.
• 뺄셈과 나눗셈의 포함으로 이전 연구에서 사용된 덧셈, 곱셈, 거듭제곱만으로는 누락되었던 약 1,250개의 수가 해결되었다.
• 모든 수 중 1,256개가 뺄셈과/또는 나눗셈이 필요했으며, 증가 순서에서 611개, 감소 순서에서 645개였고, 이 중 178개는 양쪽 모두에 공통으로 존재했다.
• 논문은 0에서 11111까지의 모든 수에 대해 명시적인 표현을 제공하며, 복잡한 사례인 11111 = 1 × 23 × 456 + 7 × 89(증가 순서)도 포함한다.
• 감소 순서에서 11111의 표현은 −9 + 8 × 7 −6 × (5 −432 × 1)로 나타나, 음수 및 중첩된 연산의 힘을 보여준다.