[논문 리뷰] Criss-Cross Deletion Correcting Codes

Rawad Bitar, Ilia Smagloy외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 30.

DNA and Biological Computing참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $n \times n$ 배열에서 한 행과 한 열이 삭제될 수 있는 $(1,1)$-크로스크로스 삭제 수정 코드를 소개한다. 이는 점점 커지는 경우에 대해 잔여 부호의 하한을 $2n - 2 + 2\log n$ 비트로 설정하고, 이 하한과 $2\log n + 9 + 2\log e$ 비트 이내의 잔여 부호를 갖는 명시적 복호화를 구현한 부호 설계를 제시한다.

ABSTRACT

This paper studies the problem of constructing codes correcting deletions in arrays. Under this model, it is assumed that an $n imes n$ array can experience deletions of rows and columns. These deletion errors are referred to as $(t_\mathrm{r},t_\mathrm{c})$-criss-cross deletions if $t_\mathrm{r}$ rows and $t_\mathrm{c}$ columns are deleted, while a code correcting these deletion patterns is called a $(t_\mathrm{r},t_\mathrm{c})$-criss-cross deletion correcting code. The definitions for criss-cross insertions are similar. Similar to the one-dimensional case, it is first shown that the problems of correcting criss-cross deletions and criss-cross insertions are equivalent. Then, we mostly investigate the case of $(1,1)$-criss-cross deletions. An asymptotic upper bound on the cardinality of $(1,1)$-criss-cross deletion correcting codes is shown which assures that the asymptotic redundancy is at least $2n-2+2\log n$ bits. Finally, a code construction with an explicit decoding algorithm is presented. The redundancy of the construction is away from the lower bound by at most $2 \log n+9+2\log e$ bits.

연구 동기 및 목표

• 전체 행과 열이 손실될 수 있는 2차원 배열에서의 삭제 수정 문제를 다루기.
• 특히 $(1,1)$의 경우에 대해 $(t_r, t_c)$-크로스크로스 삭제를 수정할 수 있는 부호의 크기에 대한 이론적 한계를 설정하기.
• $(1,1)$-크로스크로스 삭제 수정을 위한 명시적 부호 설계와 효율적인 복호화 방법 개발하기.
• 제안된 부호의 잔여 부호를 분석하고 이론적 하한과 비교하기.

제안 방법

• 크로스크로스 삭제와 크로스크로스 삽입의 문제 간 등가성을 배열 모델에서 증명한다.
• 조합론적 및 정보이론적 추론을 사용하여 $(1,1)$-크로스크로스 삭제 수정 부호의 기수의 점점 커지는 상한을 유도한다.
• 한 행과 한 열의 손실를 감지하고 수정할 수 있도록 설계된 패리티 체크 제약 조건을 기반으로 부호를 구성한다.
• 삭제된 행과 열의 위치를 복구하기 위해 부호의 잔여 부호 기반으로 명시적 복호화 알고리즘을 설계한다.
• 구성의 잔여 부호를 분석하고 이론적 하한과 $2\log n + 9 + 2\log e$ 비트 이내에 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬의 크기가 $n \times n$일 때 $(1,1)$-크로스크로스 삭제를 수정하기 위해 필요한 최소 잔여 부호는 얼마인가?
• RQ2 2차원 배열 모델에서 크로스크로스 삭제와 삽입을 수정하는 문제들은 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $(1,1)$-크로스크로스 삭제를 위한 효율적인 복호화를 갖는 명시적 부호 설계가 가능할 수 있는가?
• RQ4 이러한 부호의 잔여 부호는 이론적 하한과 얼마나 가까운가?

주요 결과

• $(1,1)$-크로스크로스 삭제 수정 부호의 점점 커지는 잔여 부호는 $2n - 2 + 2\log n$ 비트로 하한이 있다.
• 제안된 부호 설계는 이 하한과 $2\log n + 9 + 2\log e$ 비트 이내의 잔여 부호를 달성한다.
• 삭제된 행과 열을 정확히 식별하고 복구할 수 있는 명시적 복호화 알고리즘이 제공된다.
• 크로스크로스 삭제와 삽입을 수정하는 문제들이 배열 모델에서 등가임을 입증한다.
• 제안된 부호 설계는 잔여 부호의 작은 덧셈 항을 제외하고 점점 커지는 최적성을 갖는다.