[논문 리뷰] Criterion for the $L^{p}$-dissipativity of second order differential operators with complex coefficients

Alberto Cialdea, Vladimir Maz’ya|ArXiv.org|2004. 12. 11.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소계수를 가진 이阶 타원형 미분 연산자의 $L^p$-소산성에 대한 必要하고 충분한 대수적 조건을 수립한다. 핵심 결과는 계수 행렬 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 의 허수부가 대칭일 경우, 모든 $\xi \in \mathbb{R}^n$ 에 대해 조건 $|p-2|\,|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle| \leq 2\sqrt{p-1}\,\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle$ 가 $L^p$-소산성을 특징짓는 것이며, 허수부가 대칭이 아닐 경우 조건은 $L^p$-준소산성(또는 관련 반군의 준수축성)을 특징짓는다. 이는 1차 항이 존재하는 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

We prove that the algebraic condition $|p-2| |< {\mathscr Im}{\mathscr A}ξ,ξ>| \leq 2 \sqrt{p-1} < {\mathscr Re}{\mathscr A}ξ,ξ>$ (for any $ξ\in\mathbb{R}^{n}$) is necessary and sufficient for the $L^{p}$-dissipativity of the Dirichlet problem for the differential operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)$, where ${\mathscr A}$ is a matrix whose entries are complex measures and whose imaginary part is symmetric. This result is new even for smooth coefficients, when it implies a criterion for the $L^{p}$-contractivity of the corresponding semigroup. We consider also the operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)+{\bf b} abla +a$, where the coefficients are smooth and ${\mathscr Im}{\mathscr A}$ may be not symmetric. We show that the previous algebraic condition is necessary and sufficient for the $L^{p}$-quasi-dissipativity of this operator. The same condition is necessary and sufficient for the $L^{p}$-quasi-contractivity of the corresponding semigroup. We give a necessary and sufficient condition for the $L^{p}$-dissipativity in $\mathbb{R}^{n}$ of the operator $ abla^{t}({\mathscr A} abla)+{\bf b} abla +a$ with constant coefficients.

연구 동기 및 목표

• 복소계수를 가진 2차 미분 연산자의 딜리클레 문제에 대한 $L^p$-소산성에 대한 必要하고 충분한 대수적 조건을 수립하기 위해.
• 허수부가 대칭이 아닐 경우, 특히 허수부가 대칭이 아닐 때도 적용 가능한 기준을 확장하기 위해.
• 매끄러운 계수의 일반적인 경우에서 관련 반군의 $L^p$-준소산성 및 준수축성을 특징짓기 위해.
• $\mathbb{R}^n$ 에서의 일정계수 연산자에 대한 완전한 특징을 제공하기 위해.

제안 방법

• 연관된 이차형식 $\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(u,v) = \int_\Omega \langle\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla u, \nabla v\rangle\,dx$ 의 분석을 통해 $L^p$-소산성 조건을 유도하기 위해.
• 스펙트럼 및 변분 기법을 사용하여 연산자의 소산성과 계수 행렬의 실수부의 강제성, 허수부의 유계성 간의 관계를 규명하기 위해.
• $C_0$-반군 이론과 쌍대성 이론을 적용하여, 연산자와 그 수반의 $L^p$-소산성과 수축 또는 준수축 반군 생성 간의 연결을 수립하기 위해.
• 허수부가 대칭이 아닐 경우를 다루기 위해, 연산자를 실수 상수로 이동시키는 $L^p$-준소산성 개념을 도입하기 위해.
• 일반적인 1차 항이 포함된 경우를 대칭 부분에 대한 문제로 환원하여 주요 기준을 적용하기 위해.
• 밀도성 및 닫힘 성질을 이용하여 $L^p$ 공간에서 이차형식의 $L^p$-소산성과 연산자의 $L^p$-소산성 간의 동치성을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 행렬 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 에 대한 어떤 대수적 조건이 복소계수를 가진 2차 타원형 미분 연산자의 딜리클레 문제에 대한 $L^p$-소산성을 보장하는가?
• RQ2 허수부 $\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 가 대칭이 아닐 경우 조건은 어떻게 변화하며, 어떤 대체 소산성 개념이 적용되는가?
• RQ3 이 기준은 1차 항이 포함된 연산자로 확장될 수 있는가? 그리고 관련 반군이 $L^p$-준수축성이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 이러한 연산자에 의해 생성되는 반군이 $L^p$-준수축성이 되는 $p$ 의 정확한 범위는 무엇인가?
• RQ5 일정계수 연산자에 대해 $\mathbb{R}^n$ 에서 $L^p$-소산성에 대한 특징이 존재하는가?

주요 결과

• 계수 행렬 $\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 의 허수부가 대칭일 경우, 모든 $\xi \in \mathbb{R}^n$ 에 대해 조건 $|p-2|\,|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle| \leq 2\sqrt{p-1}\,\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\xi,\xi\rangle$ 는 딜리클레 문제의 $L^p$-소산성에 대해 必要하고 충분하다.
• 허수부 $\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits$ 가 대칭이 아닐 경우, 동일한 대수적 조건은 연산자 $\nabla^t(\mathop{\mathscr{A}}\nolimits\nabla) + \mathbf{b}\nabla + a$ 의 $L^p$-준소산성에 대해 必要하고 충분하다.
• 동일한 조건은 연산자에 의해 생성되는 반군의 $L^p$-준수축성을 보장한다. 즉, 어떤 $\omega > 0$ 에 대해 $A - \omega I$ 가 수축 반군을 생성한다는 뜻이다.
• 일정계수 연산자에 대해 $\mathbb{R}^n$ 에서 이 조건은 $L^p$-소산성에 대한 必要하고 충분한 기준을 제공한다.
• 반군이 $L^p$-준수축성이 되는 $p$ 의 범위는 비율 $\frac{\langle\mathop{\mathscr{R}e}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits(x)\xi,\xi\rangle}{|\langle\mathop{\mathscr{I}m}\nolimits\mathop{\mathscr{A}}\nolimits(x)\xi,\xi\rangle|}$ 의 하한값에 의해 결정되며, 이는 $p$ 에 대한 명시적 상한을 이끌어낸다.
• 이 결과는 매끄러운 계수의 경우에도 새로운 것으로, 관련 반군의 $L^p$-수축성에 대한 완전한 대수적 특징을 제공한다.