[논문 리뷰] Critical ideals of trees

Hugo Corrales, Carlos E. Valencia|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 23.

Graph theory and applications참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 각 정점에 고리(loop)를 추가한 그래프에서 최소 2-매칭을 이용하여 나무의 임계 이상수의 조합적 특성화를 제시한다. 나무의 대수적 공질수(algebraic co-rank)가 그 2-매칭 수와 같음을 증명하고, 임계군의 불변량 요소들이 이러한 매칭과 관련된 다항식의 GCD를 통해 계산될 수 있음을 보이며, 정규 나무에 대한 기존 결과를 복원하고 경로 그래프가 임계 이상수가 자명한 유일한 그래프임을 규명한다.

ABSTRACT

Given a graph $G=(V, E)$, its generalized Laplacian matrix is given by \[ L(G,X_G)_{u,v}= \begin{cases} x_u& ext{if }u=v,\\ -m_{uv}& ext{if }u eq v, \end{cases} \] where $X_G=\{x_u\, | \, u\in V(G)\}$ is a set of indeterminates and $m_{uv}$ is the number of edges between $u$ and $v$. The $j$-critical ideal of $G$ is the determinantal ideal generated by the minors of size $j$ of $L(G, X)$. A $2$-matching of $G$ is a subset $\mathcal{M}$ of its edges such that every vertex of $G$ has at most two incident edges in $\mathcal{M}$. We give a combinatorial description of a set of generators of the $j$-critical ideal of a tree $T$ as a function of a set of special $2$-matchings, which we called minimal, of the graph $T^\ell$ obtained from $T$ by adding a loop at each of its vertices. Also, we prove that the algebraic co-rank of $T$ is equal to the $2$-matching number of $T$, the maximum number of edges of a $2$-matching of $T$. As a consequence, one can compute each invariant factor of the critical group of any graph $G$ such that $G\setminus v$ is a tree for some of its vertices $v$, as the greatest common divisor of the evaluation of some polynomials associated to the minimal $2$-matchings of $T^\ell$. For instance, in the regular case, we recover some of the results obtained by Levine and Toumpakari about the critical group of a wired regular tree. Additionally, we can prove that the path $P_n$ is the unique simple graph with $n$ vertices and $n-1$ trivial critical ideals. We conjecture that the set of generators that we give is a reduced Gröbner basis and we can prove this for the $|V(T)|-1$-critical ideal. Finally, we apply the result in order to calculate the critical ideals of trees with depth two and some arithmetical trees associated to the reduction of elliptic curves of Kodaira type $I_n^*$.

연구 동기 및 목표

• 나무 T의 j번째 임계 이상수를 T^ℓ(각 정점에 고리가 추가된 나무)에서의 2-매칭을 이용하여 조합적으로 기술한다.
• 나무의 대수적 공질수가 그 2-매칭 수와 같음을 증명한다. 여기서 2-매칭 수는 2-매칭의 최대 크기이다.
• 정점 제거된 부분그래프가 나무인 그래프의 경우, 최소 2-매칭에서 유도된 다항식의 평가를 통해 임계군의 불변량 요소를 계산할 수 있도록 한다.
• 최소 2-매칭에서 유도된 생성자들이 감소한 그뢰버 기저(reduced Gröbner basis)를 이룬다는 추측을 제기하고, (n−1)-임계 이상수에 대해서는 이를 증명한다.
• 이 틀을 적용하여 깊이가 2인 나무와 코다이라 유형 I_n^* 타원곡선의 감소와 관련된 산술 그래프의 임계 이상수를 계산한다.

제안 방법

• 기저 x_u를 대각선에, 비대각선에는 간선의 다중도를 음수로 둔 일반화된 라플라스 행렬 L(G,X_G)을 정의한다.
• L(T,X_T)의 모든 j×j 주식을 생성하는 I_j(T,X_T)로 j번째 임계 이상수를 정의한다.
• T^ℓ(모든 정점에 고리가 추가된 T)에서의 최소 2-매칭과 L(T,X_T)의 특정 주식 d(ℳ,X) 사이의 대응관계를 구축한다.
• 2-매칭의 조합적 성질을 이용하여, 각 j에 대해 이러한 주식의 집합이 I_j(T,X_T)를 생성함을 증명한다.
• 이 주식의 차수 벡터에 대한 평가를 통해, 임계군의 불변량 요소를 GCD를 통해 계산한다.
• 이 틀을 적용하여 깊이가 2인 나무와 코다이라 유형 I_n^* 감소와 관련된 산술 그래프의 임계 이상수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나무의 임계 이상수는 어떻게 고리가 추가된 나무에서의 2-매칭을 이용해 조합적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 나무의 대수적 공질수와 그 2-매칭 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 정점 제거 부분그래프가 나무인 그래프 G의 임계군 불변량 요소는 T^ℓ의 최소 2-매칭에서 유도된 다항식의 GCD를 통해 계산할 수 있는가?
• RQ4 최소 2-매칭과 관련된 주식 집합은 나무의 j번째 임계 이상수에 대해 감소한 그뢰버 기저인가?
• RQ5 코다이라 유형 I_n^* 감소와 관련된 산술 나무의 임계 이상수는 무엇인가?

주요 결과

• 나무 T의 j번째 임계 이상수는 T^ℓ에서 크기가 j인 최소 2-매칭 ℳ과 관련된 주식 d(ℳ,X)로 생성된다.
• 나무 T의 대수적 공질수는 그 2-매칭 수와 같다. 즉, 2-매칭의 최대 간선 수이다.
• 경로 그래프 P_n에 대해 모든 j < n에 대해 임계 이상수는 자명하고, I_{n-1}(P_n,X) = ⟨1⟩이므로 P_n은 n개 정점을 가지며 임계 이상수가 자명한 유일한 단순 그래프이다.
• 정점 제거 부분그래프가 나무인 그래프 G의 임계군 불변량 요소는 T^ℓ의 최소 2-매칭에서 유도된 다항식의 평가의 GCD로 계산할 수 있다.
• 산술 그래프 (C_{5,m}, d_{5,m}, r_{5,m})의 임계군은 m이 짝수일 때 ℤ₂², 홀수일 때 ℤ₄이며, m의 홀짝성에 따라 달라진다.
• 나무의 (n−1)-임계 이상수는 크기가 n−1인 최소 2-매칭과 관련된 주식으로 이루어진 감소한 그뢰버 기저를 갖는다.