[논문 리뷰] Critical $L$-values for some quadratic twists of Gross curves

Andrzej Dąbrowski, Tomasz Jędrzejak외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 18.

Historical Studies and Socio-cultural Analysis인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 q ≡ 3 mod 4인 소수 q에 대해 허수 이차체 K = Q(√−q)의 힐버트 클래스체 H에서의 그로스 곡선 E의 이차-twist E에 대해 임계 L-값 L(E/H, 1)을 계산한다. Magma와 데우링의 그로센캐릭터 이론을 사용하여, q ≡ 7 mod 8 이며 q ≤ 4663인 모든 q에 대해 L(E/H, 1) ≠ 0임을 수치적으로 검증하였으며, 테이트-샤파레비치 군 X(E/H)의 해석적 순서에 대한 추측 공식을 제안한다. 이 공식은 버치와 스위너튼-다이어 추측과 일치하며, 이전에 q = 7에 대해 얻어진 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $K=\Bbb Q(\sqrt{-q})$, where $q$ is a prime congruent to $3$ modulo $4$. Let $A=A(q)$ denote the Gross curve. Let $E=A^{(-\beta)}$ denote its quadratic twist, with $\beta=\sqrt{-q}$. The curve $E$ is defined over the Hilbert class field $H$ of $K$. We use Magma to calculate the values $L(E/H,1)$ for all such $q$'s up to some reasonable ranges (different for $q\equiv 7 \, ext{mod} \, 8$ and $q\equiv 3 \, ext{mod} \, 8$). All these values are non-zero, and using the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, we can calculate hypothetical orders of $\sza(E/H)$ in these cases. Our calculations extend those given by J. Choi and J. Coates [{\it Iwasawa theory of quadratic twists of $X_0(49)$}, Acta Mathematica Sinica(English Series) {\bf 34} (2017), 19-28] for the case $q=7$.

연구 동기 및 목표

• q ≡ 3 mod 4인 소수 q에 대해, K = Q(√−q)의 힐버트 클래스체 H에서 그로스 곡선 E의 이차-twist E에 대해 임계 L-값 L(E/H, 1)을 계산하는 것.
• q ≡ 7 mod 8 이며 q ≤ 4663인 모든 q에 대해 L(E/H, 1) ≠ 0임을 수치적으로 검증하여 L-함수의 비영성 예측을 지지하는 것.
• 버치와 스위너튼-다이어 추측에 기반한 해석적 순서에 대한 추측 공식을 유도하고 수치적으로 검증하는 것.
• 이전에 q = 7에 대해 얻어진 결과를 q ≡ 7 mod 8인 더 넓은 범위의 소수로 확장하기 위해 고급 알고리즘 기법을 사용하는 것.
• q ≡ 3 mod 8인 경우 Galois 공액에 따른 L-값과 탐카모 수의 행동을 조사하여, 공액 곡선 간 일관성을 확인하는 것.

제안 방법

• L-급수의 분해를 활용하여, 힐버트 캐릭터로 휘어진 그로센캐릭터의 L-값 곱으로서 L(E/H, 1)을 수치적으로 계산하기 위해 Magma를 사용한다.
• CM 타원곡선과 그로센캐릭터 사이의 데우링 이론을 적용하여, E/H의 L-함수를 L(ρχ, 1)과 그 복소수 켤레의 곱으로 표현한다.
• 마크 워터스의 보정된 알고리즘을 활용하여, 헤크-데우링 이론과 휘어짐 효과를 바탕으로 임계 L-값을 효율적으로 계산한다.
• E는 H(√−β)/H에서의 그로스 곡선 A의 이차-twist임을 이용하며, β = √−q로 하고, OK의 소수 위에서의 감소 행동을 추적한다.
• L(E/H, 1) = ∏_{χ} L(ρχ, 1) · L(ρχ, 1)̄ 공식을 구현하며, 여기서 ρ는 K 위의 차수 p²의 그로센캐릭터이다.
• 아이와사와 이론을 적용하여 L(E/H, 1)의 비영성으로부터 X(E/H)의 유한성을 도출하고, 주기와 탐카모 인자들을 포함한 추측 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 q ≡ 7 mod 8 이며 q ≤ 4663인 경우, 힐버트 클래스체 H에서의 그로스 곡선 이차-twist E에 대해 임계 L-값 L(E/H, 1)은 무엇인가?
• RQ2 L(E/H, 1)의 비영성은 이러한 모든 q에 대해 성립하는가? 이는 버치와 스위너튼-다이어 추측을 어떻게 지지하는가?
• RQ3 이러한 twis의 X(E/H)의 해석적 순서에 대한 추측 공식을 유도하고 수치적으로 검증할 수 있는가?
• RQ4 q ≡ 3 mod 8인 경우, L-값, 탐카모 수, X(E/H)의 해석적 순서는 Galois 공액에 의해 어떻게 행동하는가?
• RQ5 제안된 #(X(E/H)) 공식은 알려진 경우 q = 7를 일반화하며, BSD 예측과 얼마나 잘 일치하는가?

주요 결과

• q ≡ 7 mod 8 이며 q ≤ 4663인 모든 소수 q에 대해, 임계 L-값 L(E/H, 1)이 수치적으로 0이 아니며, 코츠와 리의 예측한 비영성과 일치함을 확인하였다.
• 해석적 순서 #(X(E/H))는 추측 1: #(X(E/H)) = L(E/H, 1)²h+6−2r / (Ω(q)²√q)를 통해 계산되었으며, 큰 q에 대해선 1에서 10¹⁰⁰⁰ 이상까지 변화함을 확인하였다.
• q = 7일 경우 추측 공식은 [3]의 식 (2.11)로 줄어들며, 이는 이전 연구와의 일관성을 확인한다.
• 가장 큰 해석적 순서는 q = 983일 때 23,813,862,274,450,283,333로, q에 따라 급격히 증가함을 보였다.
• q ≡ 3 mod 8인 경우, 공액 곡선이 동일한 L-값, 토크션, 탐카모 수를 가지며, 이는 X(E/H)의 해석적 순서가 동일함을 의미한다.
• 공식은 각각의 p 위에 있는 r개의 소수에서 탐카모 인자 4를 반영하며, 이는 추측의 2⁻²ʳ 항에 반영되어 있다.