[논문 리뷰] Critical Point Computations on Smooth Varieties: Degree and Complexity bounds

Mohab Safey El Din, Pierre-Jean Spaenlehauer|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 09.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 30인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다항함수 사상의 임계점에 대한 날카운 degree 경계를 제시하며, 이는 다항식의 차수와 일반적인 극점 다양체의 차수에만 의존한다. 이 논문은 임계점의 유리 매개변수화를 산술 복잡도가 degree 경계의 제곱에 비례하고 입력 크기 및 차수에 다항식 의존성을 가지며, 미분 가능성과 유한성 조건 하에서 계산하는 알고리즘을 제안한다.

ABSTRACT

Let V $\subset$ C n be an equidimensional algebraic set and g be an n-variate polynomial with rational coefficients. Computing the critical points of the map that evaluates g at the points of V is a cornerstone of several algorithms in real algebraic geometry and optimization. Under the assumption that the critical locus is finite and that the projective closure of V is smooth, we provide sharp upper bounds on the degree of the critical locus which depend only on deg(g) and the degrees of the generic polar varieties associated to V. Hence, in some special cases where the degrees of the generic polar varieties do not reach the worst-case bounds, this implies that the number of critical points of the evaluation map of g is less than the currently known degree bounds. We show that, given a lifting fiber of V , a slight variant of an algorithm due to Bank, Giusti, Heintz, Lecerf, Matera and Solern{ó} computes these critical points in time which is quadratic in this bound up to logarithmic factors, linear in the complexity of evaluating the input system and polynomial in the number of variables and the maximum degree of the input polynomials.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 동차인 대수적 다양체 위에서 다항함수 사상의 임계집합 차수에 대한 날카운 상한을 확립하는 것.
• 임계집합의 유리 매개변수화를 산술 복잡도가 임계집합 차수의 제곱에 비례하도록 계산하는 알고리즘을 개발하는 것.
• 다양체가 특수한 기하학적 구조를 가질 경우 기존의 최악의 경우 경계보다 임계점 수가 현저히 작아질 수 있음을 보이는 것.
• 변수의 수와 다항식의 차수에 대해 다항식 복잡도를 보장하고 임계집합 차수에 대해 거의 제곱 복잡도를 가지는 복잡도 보장을 제공하는 것.

제안 방법

• 대수적 집합을 매개변수적으로 표현하기 위해 섬유의 올리기와 기하학적 해소 기법을 사용한다.
• 그뢰버 기저 유사 감소를 통한 임계점 계산을 위한 Bank 등이 제안한 알고리즘의 변형을 사용한다.
• 평가 사상이 사영이 되는 더 높은 차원의 공간으로 다양체를 올려 임계집합을 계산한다.
• 사상 $ g $ 가 다양체 $ V $ 에 제한된 경우에 대해 수정된 야코비안 질량 조건을 사용하여 수정된 극점 다양체를 계산한다.
• 효율적인 산술 복잡도를 확보하기 위해 모듈러 조합과 준선형 알고리즘을 활용한다.
• 출력이 표준 유리 매개변수화 형식이 되도록 기본 원소의 변경 단계를 시행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 다항식의 차수와 그 일반적인 극점 다양체의 차수만을 고려할 때, 매끄럽고 동차인 다양체 위에서 다항함수 사상의 임계집합의 정확한 차수는 무엇인가?
• RQ2 다양체가 특수한 기하학적 구조를 가질 경우, 존재하는 최악의 경우 경계보다 임계점 수를 더 날카롭게 경계할 수 있는가?
• RQ3 임계집합의 유리 매개변수화를 산술 복잡도가 임계집합 차수의 제곱에 비례하도록 계산하는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 임계점 계산의 복잡도는 입력 크기, 특히 변수의 수와 다항식의 차수에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 임계집합의 차수는 $ \Delta = \sum_{j=0}^{d} \delta_{j+1}(V)(D-1)^j $ 로 경계되며, 여기서 $ \delta_{j+1}(V) $ 는 다양체 $ V $ 의 일반적인 극점 다양체의 차수이고 $ D = \deg(g) $ 이다.
• 이 경계는 날카롭고, 극점 다양체의 차수가 최적화되지 않을 경우 이전의 최악의 경우 경계보다 현저히 작아질 수 있다.
• 알고리즘은 $ \mathbb{Q} $ 에서 $ \widetilde{O}(L\Delta^2) $ 번의 연산으로 임계집합의 유리 매개변수화를 계산한다. 여기서 $ L $ 은 $ g $ 를 평가하는 직선 프로그램의 크기이다.
• 산술 복잡도는 $ \Delta $ 에 대해 제곱, $ L $ 에 대해 선형이며, $ n $, $ p $, 그리고 입력 다항식의 최대 차수에 대해 다항식이다.
• 다양체 $ V $ 가 매끄럽고 임계집합이 유한할 경우 정확성이 보장된다.
• 모듈러 조합과 준선형 산술을 활용하여 실용적으로 효율적이며, 고비용의 그뢰버 기저 계산을 피한다.