[논문 리뷰] Critical points of Potts and O($N$) models from eigenvalue identities in periodic Temperley-Lieb algebras

Jesper Lykke Jacobsen|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 10.

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한 줄 요약

이 논문은 주기적인 Temperley-Lieb 대수 내에서 고유값 문제로 재구성함으로써, Potts 및 O(N) 모델의 임계 온도를 결정하는 그래프 다항식 방법을 재수정한다. 이로 인해 수렴 속도가 빨라지고 계산 효율성이 향상된다. 먼저 m→∞ 극한을 취하여 둥근 둘레가 n인 반무한 원통으로 변환함으로써, 두 개의 위상적으로 다를 수 있는 전이 행렬 섹터의 최대 고유값을 동일시함으로써 매우 정밀한 임계 임계점—예를 들어, 카고메 격자에서의 변동성 percolation의 p_c = 0.524404999167439(4) 및 정사각형 격자에서의 점 percolation의 p_c = 0.59274605079210(2)—을 도출한다. 이는 정확하게 풀 수 있는 경우에도 정확성을 유지한다.

ABSTRACT

In previous work with Scullard, we defined a graph polynomial P_B(q,T) that gives access to the critical temperature T_c of the q-state Potts model on a general two-dimensional lattice L. It depends on a basis B, containing n x m unit cells of L, and the relevant root of P_B(q,T) was observed to converge quickly to T_c in the limit n,m to infinity. Moreover, in exactly solvable cases there is no finite-size dependence at all. We reformulate this method as an eigenvalue problem within the periodic Temperley-Lieb algebra. This corresponds to taking m to infinity first, so the bases B are semi-infinite cylinders of circumference n. The limit implies faster convergence in n, while maintaining the n-independence in exactly solvable cases. In this setup, T_c(n) is determined by equating the largest eigenvalues of two topologically distinct sectors of the transfer matrix. Crucially, these two sectors determine the same critical exponent in the continuum limit, and the observed fast convergence is thus corroborated by results of conformal field theory. We obtain similar results for the dense and dilute phases of the O(N) loop model, using now a transfer matrix within the dilute periodic Temperley-Lieb algebra. The eigenvalue formulation allows us to double the size n for which T_c(n) can be obtained, using the same computational effort. We study in details three significant cases: (i) bond percolation on the kagome lattice, up to n = 14; (ii) site percolation on the square lattice, to n = 21; and (iii) self-avoiding polygons on the square lattice, to n = 19. Convergence properties of T_c(n) and extrapolation schemes are studied in details for the first two cases. This leads to rather accurate values for the percolation thresholds: p_c = 0.524404999167439(4) for bond percolation on the kagome lattice, and p_c = 0.59274605079210(2) for site percolation on the square lattice.

연구 동기 및 목표

• 통계적 격자 모델에서 임계 온도를 결정하는 데 있어 그래프 다항식 방법의 효율성과 이론적 기반을 향상시키는 것.
• 해당 방법을 주기적인 Temperley-Lieb 대수 내의 고유값 문제로 재구성하여, 둘레가 n인 반무한 원통에서의 해석적 및 수치적 계산을 가능하게 하는 것.
• 정확하게 풀 수 있는 경우에 n에 독립성을 유지하면서도 비가역적인 경우에 수렴 속도를 가속화할 수 있음을 보여주는 것.
• 밀도 및 희박한 상에서의 O(N) 루프 모델, 포함하여 비자기 다각형까지도 포함한 확장.
• 고유값 접근법에서 유도된 유한한 크기의 데이터를 바탕으로 임계 매개변수에 대한 고정밀 외삽 기법을 개발하는 것.

제안 방법

• 주기적인 Temperley-Lieb 대수 내에서 전이 행렬의 두 개의 서로 다른 위상 섹터의 최대 고유값 간의 등식으로 임계 온도 조건을 수립한다.
• 먼저 m→∞ 극한을 취함으로써 유한한 n×m 기저를 둘레가 n인 반무한 원통으로 변환함으로써 고유값 문제를 단순화한다.
• 주기적인 Temperley-Lieb 대수 내에서 전이 행렬 형식을 사용하여 더 큰 n에 대해 고유값을 수치적으로 계산함으로써, 이전 방법 대비 두 배의 시스템 크기를 확보한다.
• 고유값 등식 기준을 Potts 및 O(N) 모델 모두에 적용하여, 변동성 percolation, 점 percolation, 비자기 다각형 포함.
• 연속 근사에서 두 섹터가 동일한 임계 지수를 갖는다는 conformal field theory의 통찰을 활용하여 수렴 속도 향상의 이론적 근거를 제공한다.
• T_c(n) 데이터에 고급 외삽 기법을 적용하여 임계 임계점에서 15자리 정밀도를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 온도 결정을 위한 그래프 다항식 방법을 주기적인 Temperley-Lieb 대수 내의 고유값 문제로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 이 고유값 공식화는 T_c(n)이 진정한 임계 온도 T_c로 수렴하는 데 더 빠른 수렴 속도를 유도하는가?
• RQ3 정확하게 풀 수 있는 모델에서 이 방법은 요구되는 정확한 해법 탐지 조건인 n에 독립성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 밀도 및 희박한 상 모두에서 O(N) 루프 모델로 확장될 수 있는가?
• RQ5 유한한 크기의 고유값 데이터에 적용된 외삽 기법을 통해 고정밀 임계 임계점이 추출될 수 있는가?

주요 결과

• 고유값 공식화는 원래의 그래프 다항식 방법 대비 접근 가능한 시스템 크기 n을 두 배로 늘려, 정사각형 격자에서의 점 percolation의 경우 n_max = 21까지 계산이 가능하게 한다.
• 카고메 격자에서의 변동성 percolation에 대해, 이 방법은 p_c = 0.524404999167439(4)의 임계 임계점 결과를 도출하며, 고정밀 기준과 일치한다.
• 정사각형 격자에서의 점 percolation에 대해, 이 방법은 p_c = 0.59274605079210(2)를 계산하여 외삽을 통해 15자리 정밀도를 달성한다.
• 정확하게 풀 수 있는 모델, 예를 들어 이징 모델의 경우에도 정확한 n-독립성이 유지됨을 확인하여, 기존 정확한 해법과의 일致성을 입증한다.
• 위상적으로 다른 섹터 간의 고유값 동등성은 연속 근사에서 두 섹터가 동일한 임계 지수를 갖기 때문에 conformal field theory에 의해 이론적으로 정당화된다.
• 이 방법은 O(N) 모델, 비자기 다각형(N=0) 포함하여 성공적으로 확장되었으며, 밀도 상의 임계 도메인 월 퍼지티지 z_c = 0.421326...를 도출하였다.