[논문 리뷰] Critical points of solutions for mean curvature equation in strictly convex and nonconvex domains

Haiyun Deng, Hairong Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 22.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$)에서 엄격하게 볼록하고 비볼록인 영역에서 평균 곡률 방정식의 해의 임계점을 조사한다. 매끄럽고 유계이며 엄격하게 볼록한 영역에서는 정확히 하나의 비퇴화 임계점이 존재함을 증명한다. $n \geq 3$인 회전 대칭 비동심 구형 애너룰 영역에서는 임계집합이 축 상의 유한한 개수의 고립된 점들과 유한한 개수의 회전 대칭 조르드 곡선들로 이루어져 있으나, 회전 대칭 임계 폐곡면은 존재하지 않는다.

ABSTRACT

In this paper, we mainly investigate the set of critical points associated to solutions of mean curvature equation with zero Dirichlet boundary condition in a strictly convex domain and a nonconvex domain respectively. Firstly, we deduce that mean curvature equation has exactly one nondegenerate critical point in a smooth, bounded and strictly convex domain of $\mathbb{R}^{n}(n\geq2)$. Secondly, we study the geometric structure about the critical set $K$ of solutions $u$ for the constant mean curvature equation in a concentric (respectively an eccentric) spherical annulus domain of $\mathbb{R}^{n}(n\geq3)$, and deduce that $K$ exists (respectively does not exist) a rotationally symmetric critical closed surface $S$. In fact, in an eccentric spherical annulus domain, $K$ is made up of finitely many isolated critical points ($p_1,p_2,\cdots,p_l$) on an axis and finitely many rotationally symmetric critical Jordan curves ($C_1,C_2,\cdots,C_k$) with respect to an axis.

연구 동기 및 목표

• 엄격하게 볼록하고 비볼록인 영역에서 평균 곡률 방정식 해의 임계집합을 분석하는 것.
• 비동심 구형 애너룰 영역에서 회전 대칭 임계 곡면의 존재성과 기하학적 구조를 규명하는 것.
• 이전에 알려진 볼록 영역에서의 임계점 결과를 고차원에서 비볼록이고 회전 대칭인 영역으로 확장하는 것.
• 임계집합이 고립된 점이나 닫힌 곡선을 포함할 조건을 설정하고, 특정한 대칭 임계 곡면이 존재하지 않음을 입증하는 것.

제안 방법

• 주어진 PDE로 평균 곡률 연산자 $ Lu = \text{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1 + |\nabla u|^2}}\right) $를 사용한다.
• 애너룰 영역에서 $x_n$-축을 중심으로 회전 대칭성을 가정하여 대칭성 축소를 적용한다.
• 평면 투영에서 임계집합의 위상구조에 기반한 기하학적 분석과 모순 추론을 활용한다.
• Alessandrini 및 Magnanini 등의 연구에서 유래된 비볼록 평면 영역에서의 임계집합에 대한 기존 결과를 활용하여 모순을 이끌어낸다.
• 단순 연결 영역이나 내부 경계를 둘러싸는 임계집합은 유한한 고립된 임계점에 대한 기존 보조정리와 모순됨을 이용한다.
• 최대원리와 대칭 영역에서의 양항 타입 타원형 미분방정식 해의 성질을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$)에서 매끄럽고 유계이며 엄격하게 볼록한 영역에서 영점 경계 조건을 갖는 평균 곡률 방정식은 정확히 하나의 비퇴화 임계점을 갖는가?
• RQ2 반지름이 비동심인 구형 애너룰 영역에서 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$)에서 임계집합에 회전 대칭 폐곡면이 포함되는가?
• RQ3 일반적인 비볼록 애너룰 영역에서 일정 평균 곡률 방정식 해의 임계집합 $K$의 기하학적 구조는 어떠한가?
• RQ4 특히 대칭축을 기준으로 비동심 애너룰 영역에서 임계점과 곡선들이 어떻게 분포하는가?
• RQ5 비볼록 영역에서 임계집합이 유한한 개수의 고립된 점들과 유한한 개수의 회전 대칭 조르드 곡선들로 이루어질 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$)에서 매끄럽고 유계이며 엄격하게 볼록한 영역에서는 영점 경계 조건을 갖는 평균 곡률 방정식이 정확히 하나의 비퇴화 임계점을 갖는다.
• 반지름이 동심인 구형 애너룰 영역에서 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$)에서 임계집합 $K$는 회전 대칭 임계 폐곡면을 포함한다.
• 반지름이 비동심인 구형 애너룰 영역에서 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 3$)에서 임계집합 $K$는 어떤 회전 대칭 임계 폐곡면도 포함하지 않는다.
• 비동심 구형 애너룰 영역에서는 임계집합 $K$가 대칭축 상의 유한한 개수의 고립된 임계점들과 유한한 개수의 회전 대칭 임계 조르드 곡선들로 이루어져 있다.
• 비동심 애너룰 영역에서 $K$의 기하학적 구조는 위상적으로 제약을 받는다: 단순 연결 부분 영역이나 내부 경계를 둘러싸는 것은 불가능하며, 이는 고립된 임계점의 수가 유한함에 대한 기존 성질과 모순되기 때문이다.
• 결과는 동일한 대칭성과 구조적 가정을 만족하는 일반적인 양항 타입 타원형 미분방정식으로 확장되며, 동일한 임계집합의 기하학적 구조를 유지한다.