[논문 리뷰] Critical Q=1 Potts Model and Temperley-Lieb Stochastic Processes

Paul A. Pearce, V. Rittenberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2001. 08. 03.

Quantum many-body systems참고 문헌 2인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 임계 Q=1 Potts 모형과 Temperley-Lieb 대수 위의 확률적 과정 사이의 연결을 수립하며, q = exp(πi/3)에서의 U_q[sl(2)] XXZ 스핀 체인의 기저 상태 웨이브 함수가 비국소적인 비율을 갖는 일차원 확률적 표면 성장 모형의 정상 확률 분포를 기술한다는 것을 보여준다. 핵심 결과는 이러한 확률적 과정의 스펙트럼이 임계 Q=1 Potts 모형의 스펙트럼과 일치하며, c=0 conformal invariance와 Jordan cell 표현을 통한 로그 conformal field theory(로그 CFT)의 구조를 보인다는 것이다.

ABSTRACT

We consider the groundstate wave function and spectra of the $L$-site XXZ $U_q[s\ell(2)]$ invariant quantum spin chain with $q=\exp(πi/3)$. This chain is related to the critical Q=1 Potts model and exhibits $c=0$ conformal invariance. We show that the problem is related to Hamiltonians describing one-dimensional stochastic processes defined on a Temperley-Lieb algebra. The bra groundstate wave function is trivial and the ket groundstate wave function gives the probabilty distribution of the stationary state. The stochastic processes can be understood as interface RSOS growth models with nonlocal rates. Allowing defects which can hop on the interface one obtains stochastic models having the same stationary state and spectra (but not degeracies) as the XXZ chain.

연구 동기 및 목표

• 임계 Q=1 Potts 모형과 Temperley-Lieb 대수 위에 정의된 확률적 과정 사이의 대응관계 수립.
• q = exp(πi/3)에서의 U_q[sl(2)] XXZ 체인의 기저 상태 웨이브 함수가 확률적 표면 성장 모형의 정상 상태에 대응됨을 보여줌.
• 이러한 확률적 과정의 스펙트럼이 c=0과 로그 구조를 갖는 conformal field theory와 일치함을 입증함.
• 양자 스핀 체인에서 나타나는 교대 부호 행렬(ASM) 수와 확률적 과정의 측정 가능한 양 사이의 관계를 연결함.

제안 방법

• q = exp(πi/3)를 사용하여 Temperley-Lieb 대수의 생성자들을 이용해 XXZ 해밀토니안을 정의함. 이는 Δ = 1/2 및 Q = 1에 해당함.
• 기저 상태 에너지는 0이며, 케트 기저 상태 웨이브 함수는 확률 과정의 정상 확률 분포를 제공함.
• 확률 모형은 비국소적인 표면 성장 RSOS 모형으로 해석되며, 정상 상태와 스펙트럼을 유지하는 히팅 결함을 포함함.
• 유한한 크기 스케일링을 사용하여 정상 상태에서의 평균 둘레, 면적, 클러스터 수를 분석함.
• L=16까지의 수치적 분석을 통해 Van den Broeck-Schwartz 근사법을 사용하여 conformal weight와 중심 임계수를 추출함.
• 스펙트럼이 c=0 로그 conformal field theory의 특성 함수 χ_s(q)와 일치함을 보임. 이는 Δ_s = s(2s−1)/3 및 모듈러 매개변수 q를 갖음.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 Q=1 Potts 모형의 기저 상태 웨이브 함수는 Temperley-Lieb 대수 위의 확률적 과정의 정상 상태와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 q = exp(πi/3)에서의 XXZ 체인으로 유도된 확률적 과정의 스펙트럼을 지배하는 conformal field theory의 성격은 무엇인가?
• RQ3 양자 스핀 체인에서 나타나는 교대 부호 행렬(ASMs)의 조합적 성질은 확률 모형의 측정 가능한 양과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 정상 상태에서 기하학적 관측량인 둘레, 면적, 클러스터 수의 유한 크기 스케일링 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 확률 해밀토니안의 스펙트럼은 로그 conformal field theory의 구조를 보이며, 만약 그렇다면 에너지 수준 수정에 어떻게 반영되는가?

주요 결과

• 확률 과정의 정상 상태 확률 분포는 q = exp(πi/3)에서의 XXZ 체인의 케트 기저 상태 웨이브 함수로 주어진다.
• L ≤ 18까지의 유한 크기 스케일링 결과로 스케일링 지수는 ⟨ℓ(a)⟩ ∼ 0.249(1)L, ⟨N(a)⟩ ∼ 0.065(1)L^{1+ν} (ν = 0.50(3)), ⟨C(a)⟩ ∼ 1.17(1)L^x (x = 0.667(3))를 얻음.
• L=16에서의 수치적 에너지 수준 추정치는 c=0 로그 conformal field theory의 conformal weight Δ_s = s(2s−1)/3 및 특성 함수 χ_s(q)와 일치함.
• 확률 해밀토니안 H의 스펙트럼은 중심 임계수 c=0, conformal weight Δ_s = s(2s−1)/3 (s = 0, 1/2, 1, ...)를 갖는 conformal field theory와 일치함. 유한 체적 수정은 LE_n/πv = Δ_s + k_n + o(1)로 기술됨.
• q가 단위근이기 때문에 표현에서 Jordan cell의 구조를 보이며, 이는 로그 conformal field theory의 특징임.
• 히팅 결함이 있는 확률 모형에서도 동일한 스펙트럼(하지만 디제너레이션은 아님)을 얻었으며, 이는 정상 상태와 스펙트럼 구조의 보편성을 확인함.