[논문 리뷰] Criticality and self-organization in branching processes: application to natural hazards

Álvaro Corral, Francesc Font-Clos|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 11.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 66인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 지진과 같은 자연재해를 모델링하기 위해 분기 과정 이론을 적용하며, 에너지 방출의 힘의 법칙 분포가 오직 임계 상태일 때만 나타나며, 이는 시스템이 멸종과 폭발 사이의 균형 상태에 있을 때이다. 확률 생성 함수와 자가조직 임계 상태를 사용하여, 이러한 시스템이 정교한 조정 없이도 자연스럽게 임계 상태로 진화함을 보이며, 실제 재해에서 관찰되는 척도 불변성과 무거운 尾 분포 통계를 설명한다.

ABSTRACT

The statistics of natural catastrophes contains very counter-intuitive results. Using earthquakes as a working example, we show that the energy radiated by such events follows a power-law or Pareto distribution. This means, in theory, that the expected value of the energy does not exist (is infinite), and in practice, that the mean of a finite set of data in not representative of the full population. Also, the distribution presents scale invariance, which implies that it is not possible to define a characteristic scale for the energy. A simple model to account for this peculiar statistics is a branching process: the activation or slip of a fault segment can trigger other segments to slip, with a certain probability, and so on. Although not recognized initially by seismologists, this is a particular case of the stochastic process studied by Galton and Watson one hundred years in advance, in order to model the extinction of (prominent) families. Using the formalism of probability generating functions we will be able to derive, in an accessible way, the main properties of these models. Remarkably, a power-law distribution of energies is only recovered in a very special case, when the branching process is at the onset of attenuation and intensification, i.e., at criticality. In order to account for this fact, we introduce the self-organized critical models, in which, by means of some feedback mechanism, the critical state becomes an attractor in the evolution of such systems. Analogies with statistical physics are drawn. The bulk of the material presented here is self-contained, as only elementary probability and mathematics are needed to start to read.

연구 동기 및 목표

• 자연재해(지진 등)에서 에너지가 힘의 법칙 분포를 따르는 이유를 분기 과정을 통해 설명하는 것.
• 이러한 두꺼운 尾 통계가 오직 분기 과정이 멸종과 폭발 사이의 균형 상태에 있을 때만 나타나는 조건을 보여주는 것.
• 복잡한 시스템이 정교한 조정 없이도 자연스럽게 임계 상태로 진화하는 메커니즘으로 자가조직 임계 상태를 제안하는 것.
• 기초적인 확률론과 생성 함수를 사용하여 핵심 통계적 성질을 자가 포함된 접근으로 유도하는 것.
• 통계물리학과의 유사성을 제시하며, 복잡한 시스템에서 임계성을 유지하는 데 있어 피드백 메커니즘의 역할을 강조하는 것.

제안 방법

• 지진의 후진계를 모델링하고 에너지 전파를 분석하기 위해 갈튼-워슨 분기 과정을 사용한다.
• 멸종 확률과 분기 사건의 크기 분포를 유도하기 위해 확률 생성 함수를 적용한다.
• 평균 후손 수가 정확히 1일 때 발생하는 임계 분기 조건을 유도하며, 이는 힘의 법칙 행동을 초래한다.
• 피드백 메커니즘을 갖춘 자가조직 임계 상태(SOC) 모델을 도입하여 시스템이 임계 상태로 유도되도록 한다.
• 지구계수-리히터 법칙을 크기에서 에너지로 변환하기 위해 $ E \propto 10^{3M/2} $의 관계를 사용하여 $ D_E(E) \propto E^{-\alpha} $를 도출하며, 이때 $ \alpha = 1 + \frac{2b}{3} $이다.
• 카탈란 수의 渐近 행동을 분석하기 위해 스타링의 근사법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 자연재해의 에너지는 특징 치가 없는 힘의 법칙 분포를 따를까?
• RQ2 어떤 조건에서 분기 과정이 사건 크기의 힘의 법칙 분포를 생성하는가?
• RQ3 어떻게 시스템이 외부 조정 없이도 자연스럽게 임계 상태로 진화할 수 있는가?
• RQ4 피드백 메커니즘이 복잡한 시스템에서 임계성을 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 크기에서 에너지 분포로의 변환은 관측된 통계에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 지진의 에너지 분포는 $ D_E(E) \propto E^{-\alpha} $ 형태의 힘의 법칙을 따르며, $ \alpha = 1 + \frac{2b}{3} $이다. 여기서 $ b \approx 1 $ 이므로 $ \alpha \approx \frac{5}{3} $이다.
• 힘의 법칙 행동은 오직 평균 후손 수가 정확히 1인 임계 상태일 때만 나타난다.
• 확률 $ p \leq 1/2 $일 경우, 분기 과정의 총 크기 분포의 합은 1이며, 이는 멸종이 확실함을 의미한다. 반면 $ p > 1/2 $일 경우 합은 $ (q/p)^2 $이며, 이는 무한한 성장 가능성이 존재함을 의미한다.
• 임계 분기 과정의 크기 분포를 유도하기 위해 카탈란 수의 생성 함수 $ h(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x} $ 를 사용한다.
• 스타링의 근사법 $ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n $ 는 감마 분포와 중심극한정리에 기반한 확률론적 방법으로 유도된다.
• 이 시스템은 척도 불변성을 보이며 이론적으로 평균 에너지가 무한하므로, 표본 평균은 진정한 모집단 평균을 신뢰할 수 없는 추정량이 된다.