[논문 리뷰] Cross-Dimensional Linear Systems

Daizhan Cheng, Zequn Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 10.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 반타율 곱( semi-tensor product, STP )을 사용하여 행렬과 벡터의 연산을 일반화함으로써, 임의의 차원과 변화하는 차원에서 작동하는 동적 시스템을 가능하게 하는 교차 차원 선형 시스템(CDLS)을 제안한다. 행렬은 M-곱에 대해 모노이드를 이루고, 벡터는 V-곱에 대해 하이브리드 벡터 공간을 이룬다. 이에 기반해 동치류의 몫공간에서 이산 및 연속 시간 시스템에 대한 관제 가능성과 관측 가능성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

Semi-tensor product(STP) or matrix (M-) product of matrices turns the set of matrices with arbitrary dimensions into a monoid $({\cal M},\ltimes)$. A matrix (M-) addition is defined over subsets of a partition of ${\cal M}$, and a matrix (M-) equivalence is proposed. Eventually, some quotient spaces are obtained as vector spaces of matrices. Furthermore, a set of formal polynomials is constructed, which makes the quotient space of $({\cal M},\ltimes)$, denoted by $(Σ, \ltimes)$, a vector space and a monoid. Similarly, a vector addition (V-addition) and a vector equivalence (V-equivalence) are defined on ${\cal V}$, the set of vectors of arbitrary dimensions. Then the quotient space of vectors, $Ω$, is also obtained as a vector space. The action of monoid $({\cal M},\ltimes)$ on ${\cal V}$ (or $(Σ, \ltimes)$ on $Ω$) is defined as a vector (V-) product, which becomes a pseudo-dynamic system, called the cross-dimensional linear system (CDLS). Both the discrete time and the continuous time CDLSs have been investigated. For certain time-invariant case, the solutions (trajectories) are presented. Furthermore, the corresponding cross-dimensional linear control systems are also proposed and the controllability and observability are discussed. Both M-product and V-product are generalizations of the conventional matrix product, that is, when the dimension matching condition required by the conventional matrix product is satisfied they coincide with the conventional matrix product. Both M-addition and V-addition are generalizations of conventional matrix addition. Hence, the dynamics discussed in this paper is a generalization of conventional linear system theory.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차원과 변화하는 차원을 가진 공간에서 작동하는 동적 시스템을 위한 수학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기존의 행렬 및 벡터 연산(곱셈, 덧셈)을 서로 다른 차원을 가진 행렬과 벡터가 가능한 한 일반화하기 위해.
• 행렬과 벡터의 동치관계를 정의하여 몫공간을 형성하고, 이들이 벡터 공간을 이룰 수 있도록 하여, 차원이 변하는 시스템에 대한 통합적 처리를 가능하게 하기 위해.
• 형식 다항식과 몫 모노이드를 사용하여 교차 차원 선형 시스템을 의사-동적 시스템으로 공식화하기 위해.
• 이산 및 연속 시간 교차 차원 선형 제어 시스템의 관제 가능성과 관측 가능성에 대한 일반 조건을 탐구하기 위해.

제안 방법

• 임의의 차원을 가진 행렬에 대해 이진 연산으로서 M-곱(반타율 곱)을 정의하고, $({\rm\bf M}, \ltimes)$로 이루어진 모노이드를 형성한다.
• 행렬의 부분집합에 대해 M-덧셈을 정의하여 하이브리드 벡터 공간을 형성하고, M-동치관계를 정의하여 몫공간 $\Sigma = \mathcal{M}/\sim$을 구성한다.
• 행렬 집합 $\mathcal{M}$ 이 벡터 집합 $\mathcal{V}$ 위에 작용하는 V-곱을 정의하여 의사-동적 시스템을 형성한다.
• 임의의 차원을 가진 벡터에 대해 V-덧셈과 V-동치관계를 정의하여 몫공간 $\Omega = \mathcal{V}/\leftrightarrow$를 구성하고, 이가 벡터 공간임을 보장한다.
• 형식 다항식 $\mathcal{P}_{\mathcal{M}}$ 과 $\mathcal{P}_{\Sigma}$ 를 사용하여 모든 행렬 및 몫행렬 공간을 하이브리드 벡터 공간으로 통합한다.
• 이산 및 연속 시간 CDLS를 각각 $\vec{x}(t+1) = \langle A \rangle \vec{\ltimes} \vec{x}(t)$ 와 $\vec{x}(t) = e^{A_*t}x_0 + \int_0^t e^{A_*(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$ 로 공식화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 행렬 대수의 제약을 넘어서, 임의의 차원과 변화하는 차원을 다룰 수 있도록 행렬 및 벡터 연산을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 행렬 및 벡터의 동치관계에 의해 형성된 몰입공간의 구조는 어떠한가? 이는 차원에 구애받지 않는 공간에서의 선형 대수를 어떻게 지원하는가?
• RQ3 교차 차원 선형 시스템은 어떻게 의사-동적 시스템으로 모델링할 수 있으며, 궤적의 유한한 계산 가능성 조건은 무엇인가?
• RQ4 연속 시간 교차 차원 선형 시스템에서의 관제 가능성과 관측 가능성에 대한 일반 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 이론적 프레임워크는 네트워크 시스템이나 유전자 조절 네트워크와 같은 실용적인 차원 변화 시스템으로 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 차원을 가진 행렬 집합은 M-곱(반타율 곱)에 대해 모노이드를 이룬다. 이는 기존의 행렬 곱셈을 일반화한다.
• M-동치관계에 따른 행렬의 몰입공간 $\Sigma = \mathcal{M}/\sim$ 은 벡터 공간이다. 이는 차원에 구애받지 않는 행렬 클래스에서의 선형 대수를 가능하게 한다.
• V-동치관계에 따른 벡터의 몰입공간 $\Omega = \mathcal{V}/\leftrightarrow$ 역시 벡터 공간이다. 이는 차원에 구애받지 않는 벡터 연산을 지원한다.
• 이산 시간 CDLS의 궤적은 $\vec{x}(t) = \langle A \rangle^{t} \vec{x}_0$ 로 주어지고, 연속 시간 시스템의 궤적은 $\vec{x}(t) = \overline{e^{A_*t}x_0 + \int_0^t e^{A_*(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau}$ 로 주어진다. 이는 $\langle A \rangle$ 가 차원 유계일 경우 유한하게 계산 가능하다.
• 시스템 (187) 이 관제 가능하고 관측 가능하다는 것이 입증되었으며, 이는 제어 설계에 대한 프레임워크의 실현 가능성을 보여준다.