[논문 리뷰] Cross-wired lamplighter groups

Yves Cornulier, David Fisher외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 03.

Electromagnetic Scattering and Analysis참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 표준 램플라이터 군 $F\wr\mathbb{Z}$의 일반화로 크로스와이어드 램플라이터 군을 도입하며, Diestel-Leader 그래프 $\mathrm{DL}(m,n)$의 등급 이sovmetry 군의 닫힘 및 코컴 pact 부분군을 특성화한다. 모든 이러한 군이 다른 Diestel-Leader 그래프에서 추이적으로 작용하는 지수 2 부분군을 가짐을 증명함으로써, $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$에서의 격자는 반드시 램플라이터 군이 아니며, 특정 자기유사 부분군을 가진 준동차곱의 형태로 대수적 특성화가 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for a locally compact group to be isomorphic to a closed cocompact subgroup in the isometry group of a Diestel-Leader graph. As a consequence of this condition, we see that every cocompact lattice in the isometry group of a Diestel-Leader graph admits a transitive, proper action on some other Diestel-Leader graph. We also give some examples of lattices that are not virtually lamplighters. This implies the class of discrete groups commensurable to lamplighter groups is not closed under quasi-isometries and, combined with work of Eskin, Fisher and Whyte, gives a characterization of their quasi-isometry class.

연구 동기 및 목표

• 모든 $m,n \geq 2$ 에 대해 $\mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ 의 닫힘 및 코컴 pact 부분군을 특성화하는 것.
• 그러한 부분군이 격자로 나타나는 조건과 표준 램플라이터 군과의 쿼어티-이소메트리 관계 여부를 규명하는 것.
• 표준 와이어드곱의 구조를 초월하여 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 의 격자에 대한 대수적 특성화를 제공하는 것.
• 모든 코컴 pact 격자 $\Gamma < \mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 가 다른 Diestel-Leader 그래프에서 추이적이고 적절한 작용을 갖는다는 것을 보여주는 것.
• 표준 램플라이터 군에 대해 거의 유사하지 않은 격자 예를 제시하여, 램플라이터 군과 공명하는 군의 집합이 쿼어티-이소메트리에 대해 닫혀 있지 않음을 보여주는 것.

제안 방법

• Busemann 함수의 수준 집합으로서 Diestel-Leader 그래프 $\mathrm{DL}(m,n)$ 의 구조를 이용한다. 이는 $n+1$-정규 트리의 곱에서 유도된다.
• 등급 이sovmetry 군 $\mathrm{DL}(m,n)$ 의 등급 이sovmetry를 분석하며, 제품 자동사상의 제한인 양의 등급 이sovmetry와 플립과의 합성으로 이루어진 비양의 등급 이sovmetry를 구분한다.
• 닫힘 및 코컴 pact 부분군 $\Gamma < \mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ 에 대해 $\Gamma = H \rtimes \langle t \rangle$ 의 준동차곱 분해를 확립한다. 여기서 $H$ 는 정규이자 비콤팩트 열린 부분군이다.
• 열린 부분군 $L, L' \subset H$ 를 정의하여, 각각 $tLt^{-1}$ 과 $t^{-1}L't$ 가 $H$ 에 대해 지수 $m$ 과 $n$ 인 유한지수 부분군이 되도록 한다. 또한 $\bigcup_k t^{-k}Lt^k$ 와 $\bigcup_k t^kL't^{-k}$ 가 $H$ 를 모두 덮는다.
• $L \cap L'$ 는 컴팩트이고 $LL' = H$ 이며, 이는 $L \backslash H / L'$ 가 단일 점이라는 것을 의미한다.
• $H$ 의 자기유사 구조를 이용하여, $\Gamma$ 가 $\mathrm{DL}(m,n)$ 에 대해 적절하고 추이적인 작용을 하며, 핵이 $\bigcap_k t^{-k}(L \cap L')t^k$ 가 되도록 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $m,n \geq 2$ 에 대해 $\mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ 의 닫힘 및 코컴 pact 부분군은 무엇으로 특성화되는가?
• RQ2 모든 코컴 pact 격자 $\Gamma < \mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 는 다른 Diestel-Leader 그래프에서 추이적으로 작용할 수 있는가?
• RQ3 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 에서의 격자 중 표준 램플라이터 군 $F\wr\mathbb{Z}$ 와 거의 유사하지 않은 것이 존재하는가?
• RQ4 램플라이터 군과 공명하는 군의 집합은 쿼어티-이소메트리에 대해 닫혀 있는가?
• RQ5 $m \neq n$ 인 경우 $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(m,n))$ 의 격자의 대수적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 닫힘 및 코컴 pact 부분군 $\Gamma < \mathrm{Isom}^+(\mathrm{DL}(m,n))$ 는 고유한 열린 정규 부분군 $H$ 를 가지며, $\Gamma/H \cong \mathbb{Z}$ 이고, $H$ 는 두 부분군 $L$ 과 $L'$ 의 콜레지션의 합집합으로 분해된다. 이들 부분군은 특정한 지수 조건을 만족한다.
• $L \backslash H / L'$ 는 단일 점이며, $L \cap L'$ 는 컴팩트하다. 이는 $H$ 에서 높은 대칭성과 자기유사성을 나타낸다.
• 모든 코컴 pact 격자 $\Gamma < \mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 는 $\Gamma$ 가 램플라이터 군일 수 없더라도 다른 Diestel-Leader 그래프 $\mathrm{DL}(n,n)$ 에 대해 적절하고 추이적인 작용을 갖는다.
• $\mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 에서는 램플라이터 군에 대해 거의 유사하지 않은 격자가 존재하며, 이는 램플라이터 군과 공명하는 군의 집합이 쿼어티-이소메트리에 대해 닫혀 있지 않음을 보여준다.
• $\Gamma$ 가 이산일 경우, 매개변수 $m$ 과 $n$ 이 반드시 같아야 하므로 $\Gamma < \mathrm{Isom}(\mathrm{DL}(n,n))$ 가 되며, $\Gamma$ 는 유한 생성이다.
• 크로스와이어드 램플라이터의 예로는 양의 특성을 가진 국소체 위에서의 하이젠베르크 군에서 유도된 선형 군이 있으며, 이들은 잔여 유한하다. 비선형 예도 수축 자동사상이 있는 노름군에서 구성할 수 있다.