[논문 리뷰] Crossed modules and the integrability of Lie brackets

Iakovos Androulidakis|arXiv (Cornell University)|2005. 01. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전이성 리 대체모듈러의 적분 가능성 장애와 자연스럽게 관련된 리 군oids의 교차 모듈러의 올림 장애 사이의 정확한 대응 관계를 수립한다. 이는 그러한 대체모듈러의 적분 가능성 장애가 등급 동치 츄흐 코homology에 의해 분류됨을 보이며, 코homology 군의 자유이고 전이적인 작용을 통한 PBG-군oids의 커플링 쌍 교차 모듈러의 연장의 완전한 분류를 제공한다.

ABSTRACT

We show that the integrability obstruction of a transitive Lie algebroid coincides with the lifting obstruction of a crossed module of groupoids associated naturally with the given algebroid. Then we extend this result to general extensions of integrable transitive Lie algebroids by Lie algebra bundles. Such a lifting obstruction is directly related with the classification of extensions of transitive Lie groupoids. We also give a classification of such extensions which differentiates to the classification of transitive Lie algebroids discussed in \cite{KCHM:new}.

연구 동기 및 목표

• 전이성 리 대체모듈러의 적분 가능성 장애를 그에 관련된 리 군oids의 교차 모듈러의 올림 장애와 일치시킨다.
• 이식 가능한 전이성 리 대체모듈러의 연장 분류를 리 대수의 병합 패키지로 확장한다.
• PBG-군oids의 커플링 쌍 교차 모듈러의 연산자 연장에 대해 코homological 분류를 제공한다.
• 적분 가능성 문제를 심플렉틱 기하학에서의 기하학적 전량화 및 곡률 양자화와 연결한다.
• [15]과 [17]의 결과를 PBG-군oids와 등급 동치 코homology의 맥락으로 일반화한다.

제안 방법

• 해당 리 군oids와 이소트로피 번들의 조합을 통해 전이성 리 대체모듈러에서 리 군oids의 교차 모듈러를 구성한다.
• 구조군 $G$와 섬유 $H$를 가진 주 패키지에 대해 등급 동치 츄흐 코homology $\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$를 정의한다.
• 국소 섹션과 전이 함수를 사용하여 $\varphi_{ij}: G \times H \to H$ 형태의 코ycle 준동형을 정의하며, $\varphi_{ij}(g)(h_1 h_2) = \varphi_{ik}(g)(h_1) \varphi_{kj}(g)(h_2)$ 조건을 만족시킨다.
• 등급 동치 전이 함수에 대해 구조를 유지하는 $P \times P$에 대한 리 군oids 패키지 $F$의 확장으로서 연산자 PBG-군oids를 도입한다.
• 등급 동치 츄흐 코homology 군 $\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$이 연산자 연장의 동치류 집합에 작용하는 군 작용을 정의한다.
• 이 이론을 적용하여 PBG-군oids의 커플링 쌍 교차 모듈러의 연장을 코homology 군 작용을 통해 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이성 리 대체모듈러의 적분 가능성 장애와 그에 관련된 리 군oids의 교차 모듈러의 올림 장애 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ2 이식 가능한 전이성 리 대체모듈러의 연장 분류를 리 대수 패키지의 경우를 초월해 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 등급 동치 츄흐 코homology는 PBG-군oids와 그 연장의 분류에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 등급 동치 츄흐 코homology 군 $\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$의 연산자 연장에 대한 작용은 주 패키지와 리 군oids의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 PBG-군oids의 교차 모듈러에 대한 장애 이론은 [15]에서의 전이성 리 대체모듈러 분류를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 전이성 리 대체모듈러의 적분 가능성 장애는 관련된 리 군oids의 교차 모듈러의 올림 장애와 정확히 일치한다.
• PBG-군oids의 커플링 쌍 교차 모듈러의 연산자 연장의 동치류 집합은 $\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$의 자유이고 전이적인 작용에 의해 분류된다.
• PBG-군oids의 전이 함수 $s_{ij}$는 등급 동치 조건 $s_{ij}(ug) = \varphi_{ij}(g)(s_{ij}(u))$를 만족하며, 여기서 $\varphi_{ij}$는 코ycle 준동형이다.
• 코homology 군 $\check{H}^1_G(P \times P, ZH)$는 섬유 유형이 $H$인 주 패키지 $P(M,G)$ 위의 PBG-군oids를 분류한다.
• $\check{H}^1_G(P \times P, ZH}$의 연산자 연장에 대한 작용은 잘 정의되어 있으며 교차 모듈러의 구조를 유지한다.
• 이 이론은 심플렉틱 다양체의 전량화 조건을 전이성 리 대체모듈러의 적분 가능성의 특수한 경우로 기하학적으로 실현한다.