[논문 리뷰] Crossed product and Galois extension of monoidal Hom-Hopf algebras

Ning, Yan, Daowei Lu|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 29.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단순한 호프 대수에서의 교차곱, 갈루아 확장, 그리고 켈트 확장을 단순한 호프 대수의 맥락에서 다루며, 교차곱이 켈트 확장과 동치임을 보이고, 켈트 확장이 정규 기저 성질을 가진 갈루아 확장과 동치임을 증명한다. 주요 기여는 휨 자동형사를 통한 호프-갈루아 이론의 허프 대수 구조로의 일반화이다.

ABSTRACT

Let $(H,α)$ be a monoidal Hom-Hopf algebra, and $(A,β)$ a Hom-algebra. In this paper we will introduce the crossed product $(A\#_σH,β\otimesα)$, which is a Hom-algebra. Then we will introduce the notions of cleft extensions and Galois extensions respectively, and prove that a crossed product is equivalent to a cleft extension and a cleft extension is equivalent to a Galois extension with normal bases property.

연구 동기 및 목표

• 일반 호프 대수에서의 교차곱과 갈루아 확장 이론을 단순한 호프 대수에서 단순한 호프-하프 대수로 일반화하는 것.
• 허프 대수 틀 안에서 켈트 확장과 갈루아 확장을 정의하고 연구하는 것.
• 허프-설정에서 교차곱, 켈트 확장, 정규 기저 성질을 가진 갈루아 확장 간의 동치성을 확립하는 것.
• 고전적 결과, 예를 들어 정규 기저를 가진 호프-갈루아 확장과 교차곱 간의 동치성 등, 호프 대수 이론의 결과를 허프-형태로 확장하는 것.

제안 방법

• 단순한 호프 대수 $(A,\beta)$ 와 단순한 모나이드 호프-하프 대수 $(H,\alpha)$ 를 사용하여, 휨 2-코사이클 $\sigma$ 를 통해 단순한 호프 대수 $(A\#_{\sigma}H, \beta\otimes\alpha)$ 를 교차곱으로 구성한다.
• 켈트 확장을 단순한 호프 대수 확장 $A \subset B$ 로 정의하며, 이는 콘볼루션 역함수 맵 $\gamma: H \to B$ 가 존재하여 $B \cong A \#_{\sigma} H$ 가 되는 단순한 호프 대수로 동치임을 의미한다.
• 단순한 호프-하프 대수에서의 정규 기저 성질을 가진 갈루아 확장을, $\varphi: B \otimes_A B \to B \otimes H$ 로 정의된 이중사상 $\varphi(a \otimes b) = \beta^{-1}(a)b_{(0)} \otimes \alpha(b_{(1)})$ 가 전단사임으로써 정의한다.
• 콘볼루션 역함수와 호프-코작용과의 호환성에 기반하여, 단순한 호프 대수 확장이 켈트일 때이고, 그저 그 때에만 단순한 호프 대수 확장이 켈트임을 증명한다.
• 단순한 호프-카테고리 $\tilde{\mathcal{H}}(\mathcal{M}_k)$ 를 사용하여 단순한 호프 대수와 단순한 호프-코알제브라의 모나이드 구조를 정의하며, 이는 휨 사상 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 와의 호환성을 보장한다.
• 구성 과정에서 단순한 호프-자코비 항등식, 단순한 호프-결합법칙, 그리고 휨된 코결합법칙이 유지됨을 검증함으로써, 결과로 나오는 구조들이 잘 정의된 단순한 호프 대수와 단순한 호프-모듈로 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적인 교차곱의 개념을 단순한 호프-하프 대수의 맥락으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 단순한 호프 대수 확장이 켈트가 되기 위한 조건은 무엇이며, 이는 콘볼루션 역함수 맵의 존재와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 단순한 호프 대수 틀에서 정규 기저 성질을 가진 갈루아 확장이 켈트 확장과 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 고전적 호프 대수 이론에서 알려진 교차곱과 갈루아 확장 간의 동치성은 허프-형태의 틀로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 교차곱 $(A\#_{\sigma}H, \beta\otimes\alpha)$ 는 고전적 호프 대수 이론에서의 교차곱을 일반화한 단순한 호프 대수로 구성된다.
• 교차곱이 켈트 확장과 동치임을 보였으며, 이는 $B \cong A\#_{\sigma}H$ 이다. 이는 $\gamma: H \to B$ 가 존재하여 $\gamma(h_1)\gamma(h_2) = \gamma(h_1 h_2)$ 와 $\varepsilon(h)1 = g(\gamma(h))$ 를 만족함을 의미한다.
• 정규 기저 성질을 가진 갈루아 확장은 단순한 호프-하프 설정에서 켈트 확장과 동치임을 보였으며, 이는 고전적 결과를 허프-설정으로 일반화한 것이다.
• 단순한 호프 대수 확장 $\varphi: B \otimes_A B \to B \otimes H$, $\varphi(a \otimes b) = \beta^{-1}(a)b_{(0)} \otimes \alpha(b_{(1)})$ 가 정의된 단순한 호프 대수 확장은 켈트일 때이고, 그저 그 때에만 단순한 호프 대수 이중모듈러스 동형사상이다.
• 왼쪽 $A$-모듈러스이자 오른쪽 $H$-코모듈러스 사상인 전단사 맵 $\theta: A \otimes H \to B$ 가 존재하면, $B \cong A\#_{\sigma}H$ 가 되며, 이는 단순한 호프 대수로 동치임을 의미한다.
• 보조정리 5.4는 $A \subset B$ 가 정규 기저를 가진 갈루아 확장임과 $B \cong A\#_{\sigma}H$ 가 동치임을 보여주며, 이로써 교차곱 $\Leftrightarrow$ 켈트 확장 $\Leftrightarrow$ 정규 기저를 가진 갈루아 확장의 동치 사슬이 완성된다.