[논문 리뷰] Crossed Products by Dual Coactions of Groups and Homogeneous Spaces

Siegfried Echterhoff, S. Kaliszewski외 1명|ArXiv.org|1996. 08. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 군과 동차 공간에 대한 이중 코작용에 의한 교차곱을 통한 표현 유도를 위한 힐버트 이중모듈러의 새로운, 더 구체적인 구성법을 제시한다. 이는 C*-대수를 값으로 가지는 연속 함수를 사용한다. 주요 기여는 반복 교차곱과 임프리미티브 대수 사이의 모리타 동치를 제시하며, 만스필드의 임프리미티브 정리가 정상 부분군이 아닌 경우에도 일반화되며, 이중 코작용의 표현 이론에 실용적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Mansfield showed how to induce representations of crossed products of C*-algebras by coactions from crossed products by quotient groups and proved an imprimitivity theorem characterising these induced representations. We give an alternative construction of his bimodule in the case of dual coactions, based on the symmetric imprimitivity theorem of the third author; this provides a more workable way of inducing representations of crossed products of C*-algebras by dual coactions. The construction works for homogeneous spaces as well as quotient groups, and we prove an imprimitivity theorem for these induced representations.

연구 동기 및 목표

• 이중 코작용에 의한 교차곱의 표현을 유도하는 데 사용되는 힐버트 이중모듈러의 더 구체적이고 다룰 수 있는 구성법을 제공하는 것.
• 만스필드의 임프리미티브 정리가 몫군을 넘어서 동차 공간 G/H로까지 확장되는가를 밝히는 것, 특히 H가 정상이 아닐 경우에도 적용 가능하게 하는 것.
• C*-대수를 값으로 가지는 연속 함수를 사용하여 반복 교차곱과 임프리미티브 대수 사이의 모리타 동치를 확립하는 것.
• 특히 H가 비압류적일 경우, 전체 및 축소된 교차곱 간의 관계를 명확히 하는 것.
• H가 정상이면서 압류적일 경우, 새로운 이중모듈러가 만스필드의 구성과 일치함을 보여주는 것.

제안 방법

• 대칭 임프리미티브 정리를 사용하여, A 값을 갖는 연속 함수로 표현되는 Cc(G × G)의 완비화로서 이중모듈러를 정의한다.
• (C0(G, A) ×α⊗τ G) × H 와 C0(G/H, A) × G 사이의 모리타 동치를 확립한다. 여기서 α⊗τ 는 A ⊗ C0(G/H) 위의 대각 작용이다.
• 부분군 H 와 관련된 프로젝션을 통해 이중모듈러를 교차곱 대수의 코너로 표현한다.
• 이중 코작용과 공간적 교차곱을 활용하여 전체 및 축소된 교차곱 간의 관계를 규명한다.
• 코작용 간의 모리타 동치를 위한 연결 대수 구성법을 활용하여, 이를 G/H 에 대한 교차곱으로 확장한다.
• 이중모듈러가 임프리미티브 이중모듈러임을 보이기 위해, 코너 프로젝션들이 교차곱 대수에서 전체 이상을 생성함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 코작용에 의한 교차곱에서 표현을 유도하기 위한 더 구체적이고 다룰 수 있는 이중모듈러를 구성할 수 있는가?
• RQ2 H가 정상이 아닐 경우, 만스필드의 임프리미티브 정리는 동차 공간 G/H 로까지 확장되는가?
• RQ3 특히 H가 비압류적일 경우, 전체 및 축소된 교차곱 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 H가 정상이면서 압류적일 경우, 새로운 이중모듈러 구성법이 만스필드의 것과 동형인지 여쭤보는 것.
• RQ5 공간적 교차곱 B ×r G/H 는 의미적으로 축소된 교차곱으로 해석될 수 있으며, 임프리미티브 대수와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• Cc(G × G, A)의 완비화로서 새로운 힐버트 이중모듈러가 구성되었으며, 만스필드의 원래 구성보다 표현의 유도를 더 구체적으로 구현한다.
• 논문은 (C0(G, A) ×α⊗τ G) × H 와 C0(G/H, A) × G 사이의 모리타 동치를 확립하여, 만스필드 결과를 비정상 부분군으로까지 일반화한다.
• H가 정상이면서 압류적일 경우, 새로운 이중모듈러는 만스필드의 것과 동형임을 보여, 기존의 경우에 대해 구성법의 타당성을 검증한다.
• 비압류적 H에 대해서는 새로운 이중모듈러가 전체 교차곱과 동형이며, 만스필드의 구성법([7] 참조)은 축소된 경우에 해당함을 보여, 기하학적 차이를 드러낸다.
• 공간적 교차곱 B ×r G/H 는 (B ×δ G) ×r H 와 모리타 동치임을 보였지만, 이를 연결하는 단일한 구체적 이중모듈러는 존재하지 않는다.
• 이 구성법은 일반적으로 정의되지 않는 동차 공간의 코작용을 정의하는 데도 프레임워크를 제공한다.