[논문 리뷰] Crossed products of Banach algebras. I

Sjoerd Dirksen, Marcel de Jeu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 33인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Banach 대수 동역계 $(A, G, \alpha)$ 와 유일한 유계 클래스 $\mathcal{R}$ 의 연속 공변 표현들로부터 Banach 대수의 일반화된 교차곱 구조를 제안한다. 주요 결과로는 교차곱 대수의 비퇴화된 유계 표현들과 시스템의 비퇴화된 $\mathcal{R}$-연속 공변 표현들 사이의 전단사 관계를 확립하며, 잘 알려진 $C^*$-대수 교차곱 대응관계를 일반화하고, 군 $C^*$-대수의 개념을 Banach 대수로 확장한다.

ABSTRACT

We construct a crossed product Banach algebra from a Banach algebra dynamical system $(A,G,α)$ and a given uniformly bounded class $R$ of continuous covariant Banach space representations of that system. If $A$ has a bounded left approximate identity, and $R$ consists of non-degenerate continuous covariant representations only, then the non-degenerate bounded representations of the crossed product are in bijection with the non-degenerate $R$-continuous covariant representations of the system. This bijection, which is the main result of the paper, is also established for involutive Banach algebra dynamical systems and then yields the well-known representation theoretical correspondence for the crossed product $C^*$-algebra as commonly associated with a $C^*$-algebra dynamical system as a special case. Taking the algebra $A$ to be the base field, the crossed product construction provides, for a given non-empty class of Banach spaces, a Banach algebra with a relatively simple structure and with the property that its non-degenerate contractive representations in the spaces from that class are in bijection with the isometric strongly continuous representations of $G$ in those spaces. This generalizes the notion of a group $C^*$-algebra, and may likewise be used to translate issues concerning group representations in a class of Banach spaces to the context of a Banach algebra, simpler than $L^1(G)$, where more functional analytic structure is present.

연구 동기 및 목표

• Banach 대수의 맥락에서 $C^*$-대수 교차곱 구성법을 일반화하는 것.
• 교차곱의 비퇴화된 유계 표현들과 시스템의 비퇴화된 $\mathcal{R}$-연속 공변 표현들 사이의 표현론적 대응관계를 확립하는 것.
• 임의의 Banach 공간 클래스 $\mathcal{X}$ 에 대해 군 Banach 대수 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$ 를 구성함으로써 군 $C^*$-대수 이론을 Banach 대수로 확장하는 것.
• Banach 공간에서의 군 표현 문제들을 더 단순하고 구조화된 Banach 대수로 옮기기 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 대수 $A$ 의 유계 왼쪽 근사 항등원이 존재함을 이용하여, 교차곱 대수의 왼쪽 중심자 대수가 교차곱의 비퇴화 표현들로부터 표현을 지원함을 보장한다.
• 표현 클래스 $\mathcal{R}$ 에 기반한 노름을 사용하여 $C_c(G, A)$ 위에 노름을 정의함으로써, $C_c(G, A)$ 의 완비화로서 교차곱 Banach 대수 $A \rtimes_{\alpha}^\mathcal{R} G$ 를 구성한다.
• 표현 클래스 $\mathcal{R}$ 에 속하는 비퇴화된 연속 공변 표현들의 초월을 통해 $C_c(G, A)$ 에 노름을 정의함으로써, 결과적으로 Banach 대수가 되도록 보장한다.
• 비퇴화된 유계 표현들과 비퇴화된 $\mathcal{R}$-연속 공변 표현들 사이의 자연스러운 전단사 관계를 표준적 표현 연장에 의해 확립한다.
• 특수한 경우로 $A = \mathbb{C}$ 를 고려함으로써, $\mathcal{X}$ 에 속하는 Banach 공간에서의 등거리 강한 연속 표현들과 이에 대응하는 비퇴화된 등거리 표현을 가진 군 Banach 대수 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$ 를 도출한다.
• 항등원을 가진 Banach 대수의 경우, $\mathcal{R}$ 가 항등원 표현들로 이루어져 있을 때 표준 $C^*$-대수 교차곱 대응관계를 특수한 경우로 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Banach 대수 동역계 $(A, G, \alpha)$ 와 연속 공변 표현들의 클래스 $\mathcal{R}$ 에서 교차곱 Banach 대수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 교차곱의 비퇴화된 유계 표현들과 시스템의 비퇴화된 $\mathcal{R}$-연속 공변 표현들 사이에 자연스러운 전단사 관계가 존재하는가?
• RQ3 $C^*$-대수의 경우에 고전적인 $C^*$-대수 교차곱 대응관계가 이 구성에 의해 일반화되는가?
• RQ4 군 $C^*$-대수 구성법이 임의의 Banach 공간에서의 등거리 군 표현을 포괄하도록 Banach 대수로 확장될 수 있는가?
• RQ5 유계 왼쪽 근사 항등원이 표현론적 대응관계가 성립하도록 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 교차곱 Banach 대수 $A \rtimes_{\alpha}^\mathcal{R} G$ 는 클래스 $\mathcal{R}$ 에 기반한 노름을 사용하여 $C_c(G, A)$ 의 완비화로서 구성되며, 이는 Banach 대수임을 보장한다.
• 대수 $A$ 가 유계 왼쪽 근사 항등원을 가지며 $\mathcal{R}$ 가 비퇴화된 연속 공변 표현들로 이루어져 있을 경우, 교차곱의 비퇴화된 유계 표현들과 $(A, G, \alpha)$ 의 비퇴화된 $\mathcal{R}$-연속 공변 표현들 사이에 전단사 관계가 존재한다.
• 항등원을 가진 Banach 대수 동역계의 경우, 이 대응관계는 특수한 경우로 표준 $C^*$-대수 표현론적 이중성을 회복한다.
• $A = \mathbb{C}$ 를 취할 경우, 이 구성은 비퇴화된 등거리 표현이 $\mathcal{X}$ 의 Banach 공간에서 존재하는 군 Banach 대수 $\mathcal{B}_{\mathcal{X}}(G)$ 를 도출하며, 이들의 비퇴화된 등거리 표현들이 그 공간들에서의 등거리 강한 연속 표현들과 이중에 대응된다.
• 자명한 군의 경우, 이 구성은 $\sigma^\mathcal{R}(a) = \sup_{\pi \in \mathcal{R}} \|\pi(a)\|$ 를 사용한 반노름에서의 $A / \ker(\sigma^\mathcal{R})$ 의 완비화로 줄어들며, $\mathcal{R}$ 가 힐버트 공간에서의 모든 항등원 표현들의 클래스일 경우, 이는 환류 $C^*$-대수를 회복한다.
• 이 대응관계는 표현의 노름, 닫힌 $G$-불변 부분공간, 그리고 유계 교차연산자 공간을 유지한다.