[논문 리뷰] Crossed products of $L^p$ operator algebras and the K-theory of Cuntz algebras on $L^p$ spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 등급 보존 군 작용 하에서 $L^p$ 작용소 대수에 대한 전부 및 축소된 교차곱을 도입하고, 보편 성질을 확립하며, 아벨 군에 대해 쌍대 작용을 구성하고, $\mathbb{Z}$-작용에 대해 Pimsner-Voiculescu 정확수열을 증명한다. 주요 결과는 $L^p$ 형태의 Cuntz 대수 $\mathcal{O}_d^p$의 $K$-이론이 $K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 이고 $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$ 임을 보여주며, 이는 $C^*$-대수의 경우와 일치한다.

ABSTRACT

For $p \in [1, \infty),$ we define and study full and reduced crossed products of algebras of operators on $σ$-finite $L^p$ spaces by isometric actions of second countable locally compact groups. We give universal properties for both crossed products. When the group is abelian, we prove the existence of a dual action on the full and reduced $L^p$ operator crossed products. When the group is discrete, we construct a conditional expectation to the original algebra which is faithful in a suitable sense. For a free action of a discrete group on a compact metric space $X,$ we identify all traces on the reduced $L^p$ operator crossed product, and if the action is also minimal we show that the reduced $L^p$ operator crossed product is simple. We prove that the full and reduced $L^p$ operator crossed products of an amenable $L^p$ operator algebra by a discrete amenable group are again amenable. We prove a Pimsner-Voiculescu exact sequence for the K-theory of reduced $L^p$ operator crossed products by ${\mathbb{Z}}.$ We show that the $L^p$ analogs ${\mathcal{O}}_d^p$ of the Cuntz algebras ${\mathcal{O}}_d$ are stably isomorphic to reduced $L^p$ operator crossed products of stabilized $L^p$ UHF algebra by ${\mathbb{Z}},$ and show that $K_0 ({\mathcal{O}}_d^p) \cong {\mathbb{Z}} / (d - 1) {\mathbb{Z}}$ and $K_1 ({\mathcal{O}}_d^p) = 0.$

연구 동기 및 목표

• 지역적으로 컴act한 군의 등급 보존 작용 하에서 $L^p$ 작용소 대수에 대한 전부 및 축소된 교차곱 이론을 개발하기 위해.
• 이산 군 작용에 대해 보편 성질과 조건부 기댓값을 확립하기 위해.
• $\mathbb{Z}$ 에 의한 감소된 $L^p$ 교차곱의 $K$-이론에 대해 Pimsner-Voiculescu 유형의 정확수열을 증명하기 위해.
• $L^p$ 형태의 Cuntz 대수 $\mathcal{O}_d^p$의 $K$-이론을 계산하여 $K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 이고 $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$ 임을 보여주기 위해.
• 다양한 군과 공간 조건 하에서 $L^p$ 작용소 교차곱의 단순성, 추적, 애너블성에 대해 조사하기 위해.

제안 방법

• 등급 보존 군 작용에 의한 $\sigma$-유한한 $L^p$ 공간 위에서 전부 및 축소된 $L^p$ 작용소 교차곱을 보편 성질을 통해 정의하기 위해.
• 이산 군에 대해 축소된 교차곱에서 원래 대수로의 조건부 기댓값을 구성하며, 적절한 의미에서 충실함을 보이기 위해.
• 군이 제2 가산, 국소 컴팩트, 아벨일 경우 전부 및 축소된 교차곱 위에 쌍대 작용이 존재함을 증명하기 위해.
• $\mathbb{Z}$ 에 의한 감소된 $L^p$ 교차곱의 $K$-이론에 대해 Pimsner-Voiculescu 정확수열을 증명하기 위해, $K_0$ 및 $K_1$ 군을 포함하는 여섯 항의 정확수열을 사용하기 위해.
• $\mathcal{O}_d^p$ 의 안정화를 $\mathbb{Z}$ 에 의한 안정화된 $L^p$ UHF 대수의 감소된 $L^p$ 교차곱으로 실현하여 $K$-이론 계산을 가능하게 하기 위해.
• Pimsner-Voiculescu 수열과 실현을 이용하여 $K_0(\mathcal{O}_d^p) \cong \mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 와 $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$ 를 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군이 유한할 경우 전부 $L^p$ 교차곱이 축소 $L^p$ 교차곱과 동형일 수 있는가?
• RQ2 $L^p$ Cuntz 대수 $\mathcal{O}_d^p$ 의 $K$-이론을 교차곱 기법을 통해 계산할 수 있는가?
• RQ3 콤팩트 메트릭 공간 $X$ 위에 작용하는 군 $G$ 의 자유 작용에 대해, 감소된 $L^p$ 교차곱의 추적은 $X$ 위의 $G$-불변 Borel 확률 측도와 일대일 대응되는가?
• RQ4 애너블한 이산 군에 의해 애너블한 $L^p$ 작용소 대수의 감소된 $L^p$ 교차곱은 다시 한 번 범주론적 애너블성 Banach 대수인가?
• RQ5 $L^p$ 교차곱 위의 쌍대 작용은 Takai 대칭의 유사판을 만족하는가?

주요 결과

• $L^p$ 형태의 Cuntz 대수 $\mathcal{O}_d^p$ 의 $K_0$-군은 $\mathbb{Z}/(d-1)\mathbb{Z}$ 와 동형이며, $K_1(\mathcal{O}_d^p) = 0$ 이며, 이는 $C^*$-대수의 경우와 일치한다.
• $\mathcal{O}_d^p$ 의 안정화는 $\mathbb{Z}$ 에 의한 안정화된 $L^p$ UHF 대수의 감소된 $L^p$ 교차곱과 동형이며, 이는 $K$-이론 계산을 가능하게 한다.
• 자기 자신이 자유적이고 최소적이며 콤팩트 메트릭 공간인 $G$-공간 $X$ 에 대해, 군 $G$ 가 가산적이고 이산적일 경우 감소된 $L^p$ 작용소 교차곱은 단순하다.
• $X$ 가 콤팩트 메트릭 공간이고 군 $G$ 가 가산적이고 이산적일 경우, $G$-작용에 의한 감소된 $L^p$ 교차곱의 추적은 $X$ 위의 $G$-불변 Borel 확률 측도와 일대일 대응된다.
• 애너블한 $L^p$ 작용소 대수에 대해 이산 애너블 군의 전부 및 축소된 $L^p$ 교차곱은 애너블한 Banach 대수이다.
• $\mathbb{Z}$ 에 의한 감소된 $L^p$ 교차곱의 $K$-이론에 대해 Pimsner-Voiculescu 정확수열이 성립하며, 이는 $K$-이론 계산의 핵심 도구를 제공한다.