[논문 리뷰] Crossings and Nestings of Two Edges in Set Partitions

Svetlana Poznanovik, Catherine H. Yan|ArXiv.org|2007. 10. 09.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 집합 분할에서 교차와 중첩에 대한 클라자르 유형의 동치성을 수립하며, 두 분할이 분할 트리의 첫 두 수준에서 교차와 중첩의 분포가 동일하다면, 이 동치성은 모든 수준과 블록 수에 걸쳐 확장됨을 증명한다. 저자들은 집합 분할에 대한 새로운 나무 구조를 도입하고, 생성 함수와 연속 분수를 사용하여 교차와 중첩의 공동 생성 함수에 대한 폐형 연속 분수 전개를 유도하며, 이는 일반적인 블록 구조를 가진 집합 분할로 매칭 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $π$ and $λ$ be two set partitions with the same number of blocks. Assume $π$ is a partition of $[n]$. For any integer $l, m \geq 0$, let $\mathcal{T}(π, l)$ be the set of partitions of $[n+l]$ whose restrictions to the last $n$ elements are isomorphic to $π$, and $\mathcal{T}(π, l, m)$ the subset of $\mathcal{T}(π,l)$ consisting of those partitions with exactly $m$ blocks. Similarly define $\mathcal{T}(λ, l)$ and $\mathcal{T}(λ, l,m)$. We prove that if the statistic $cr$ ($ne$), the number of crossings (nestings) of two edges, coincides on the sets $\mathcal{T}(π, l)$ and $\mathcal{T}(λ, l)$ for $l =0, 1$, then it coincides on $\mathcal{T}(π, l,m)$ and $\mathcal{T}(λ, l,m)$ for all $l, m \geq 0$. These results extend the ones obtained by Klazar on the distribution of crossings and nestings for matchings.

연구 동기 및 목표

• 매칭에서의 교차와 중첩에 대한 클라자르의 결과를 일반적인 집합 분할로 확장하기 위해.
• 매칭 트리를 일반화하면서도 분할의 더 풍부한 블록 구조를 유지하는 집합 분할에 대한 새로운 무한한 나무 구조를 정의하기 위해.
• 두 분할이 각각의 트리에서 l=0 및 l=1 수준에서 동일한 교차 및 중첩 통계를 가진다면, 이 동치성이 모든 수준과 모든 블록 수에 대해 유지됨을 증명하기 위해.
• 주어진 분할을 근본으로 하는 교차와 중첩의 공동 생성 함수에 대한 연속 분수 전개를 유도하기 위해.
• 모츠킨 경로, 샤를리어 다이어그램, 이진 수열과 같은 조합 도구를 사용하여 생성 함수에 대한 명시적 공식을 제공하기 위해.

제안 방법

• 모든 집합 분할에 대해 루트가 있는 나무 $\mathcal{T}(\Pi)$ 를 정의하며, $[n+1]$의 분할 $\pi$ 가 $[n]$의 분할 $\lambda$ 의 자식이 되기 위한 조건은 $\pi$ 가 $\{2,\dots,n+1\}$ 에서의 제한이 $\lambda$ 와 순서 동형임을 뜻한다.
• 나무 $\mathcal{T}(\pi,l)$ 는 루트 $\pi$ 에서의 수준 $l$ 에 있는 분할의 집합으로 정의되며, $\mathcal{T}(\pi,l,m)$ 은 정확히 $m$ 개의 블록을 가진 분할의 집합이다.
• 생성 함수 $b_{l,r}$ 는 $\mathcal{T}(\pi,l)$ 에 속한 분할들에서의 $cr(\lambda)\alpha + ne(\lambda)\beta$ 값의 멀티셋을 코딩하며, $[r+1]_{q,p} = \frac{q^{r+1}-p^{r+1}}{q-p}$ 를 포함하는 재귀 관계를 사용한다.
• 생성 함수 $b_{l,r}$ 에 대한 재귀 관계 수립: $b_{l,r} = b_{l-1,r-1} + (1 + [r+1]_{q,p})b_{l-1,r} + [r+1]_{q,p}b_{l-1,r+1}$, 이는 가중 경로 수세기 방식으로 수준 간 연결을 제공한다.
• 경로 $(l,0)$ 에서 $(0,s)$ 로의 경로를 모델링하여 생성 함수 $S_\pi(q,p,z)$ 를 연속 분수와 연결하며, 단계 $(-1,0)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$ 를 사용하고, $[r+1]_{q,p}$ 와 $1+[r+1]_{q,p}$ 에 기반한 가중치를 할당한다.
• 연속 분수 전개 유도: $S_\pi(q,p,z) = \sum_{s=0}^{k-1} b_{0,s} K_s(z)$, 여기서 $K_s(z)$ 는 $[r]_{q,p}$ 와 $[r]_{q,p}+1$ 계수를 포함하는 연속 분수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 집합 분할 $\pi$ 와 $\lambda$ 가 각각의 트리에서 $l=0$ 및 $l=1$ 수준에서 동일한 교차 및 중첩 수를 가진다면, 이 동치성이 모든 수준 $l \geq 0$ 과 모든 블록 수 $m \geq 0$ 에서도 유지되는가?
• RQ2 주어진 $\pi$ 를 근본으로 하는 교차와 중첩의 공동 생성 함수가 연속 분수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 $\pi$ 가 $k$ 개의 블록을 가진다면, 생성 함수 $S_\pi(q,p,z)$ 의 구조는 무엇이며, $x_i = u_i\alpha + v_i\beta$ 의 블록 기여도 시퀀스에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 모츠킨 경로와 이진 수열과 같은 조합적 대상은 $b_{l,r}$ 의 재귀 및 생성 함수 구조를 어떻게 코딩하는가?
• RQ5 모든 집합 분할에 대한 전체 생성 함수에 대해 서로 다른 연속 분수 형태 간의 변환이 존재하는가? 만약 그렇다면, 이를 뒷받침하는 항등식은 무엇인가?

주요 결과

• 만약 $\mathcal{T}(\pi,l)$ 와 $\mathcal{T}(\lambda,l)$ 에서 통계 $cr$ 과 $ne$ 가 $l=0,1$ 에서 일치한다면, 모든 $l,m \geq 0$ 에 대해 $\mathcal{T}(\pi,l,m)$ 와 $\mathcal{T}(\lambda,l,m)$ 에서도 일치함을 보여, 강력한 불변성 성질을 확립한다.
• 생성 함수 $S_\pi(q,p,z) = \sum_{l \geq 0} b_{l,0} z^l$ 는 연속 분수 전개 $S_\pi(q,p,z) = \sum_{s=0}^{k-1} b_{0,s} K_s(z)$ 를 가지며, 여기서 $K_s(z)$ 는 계수 $[r+1]_{q,p}$ 와 $1 + [r+1]_{q,p}$ 를 포함하는 연속 분수이다.
• 싱글턴 블록 분할 $\pi = \{1\}$ 에 대해 생성 함수는 $S_{\{1\}}(q,p,z) = \cfrac{1}{1 - ([1]_{q,p}+1)z - \cfrac{[1]_{q,p}z^2}{1 - ([2]_{q,p}+1)z - \cfrac{[2]_{q,p}z^2}{\ddots}}}$ 로 단순화된다.
• 모든 집합 분할에 대한 전체 생성 함수는 $\sum_{n \geq 0} \sum_{\lambda \in \Pi_n} q^{cr(\lambda)} p^{ne(\lambda)} z^n = 1 + \cfrac{z}{1 - ([1]_{q,p}+1)z - \cfrac{[1]_{q,p}z^2}{1 - ([2]_{q,p}+1)z - \cfrac{[2]_{q,p}z^2}{\ddots}}}$ 이다.
• 생성 함수 $b_{l,r}$ 는 $[r+1]_{q,p}$ 를 포함하는 재귀를 만족하며, 이는 가중 래티스 위의 경로 수세기 방법을 통해 연속 분수를 구성할 수 있게 한다.
• 연속 분수 형태 (5.5) 와 (5.6) 은 알려진 압축 공식에 따라 동치이며, 생성 함수의 다양한 매개변수화 방식 간의 일관성을 보여준다.