[논문 리뷰] CRRA Utility Maximization under Risk Constraints

Santiago Moreno–Bromberg, Traian A. Pirvu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 09.

Economic theories and models인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 위험 측도를 통해 동적이고 시간·상태에 의존하는 위험 제약 조건을 모델링한 CRRA 유틸리티 선호도 하에서 최적 포트폴리오 선택을 연구한다. 시간 일관성 있는 왜곡 위험 측도 하에서 삼자금 분리 정리가 확립되며, 최적 전략은 이차 후행 확률미분방정식(quadratic backward stochastic differential equation, BSDE)을 통해 특성화된다. 수치 결과는 제약 조건이 있는 전략이 위험 자산 노출을 감소시킴을 보여준다.

ABSTRACT

This paper studies the problem of optimal investment with CRRA (constant, relative risk aversion) preferences, subject to dynamic risk constraints on trading strategies. The market model considered is continuous in time and incomplete. the prices of financial assets are modeled by Itô processes. The dynamic risk constraints, which are time and state dependent, are generated by risk measures. Optimal trading strategies are characterized by a quadratic BSDE. Within the class of extit{time consistent distortion risk measures}, a three-fund separation result is established. Numerical results emphasize the effects of imposing risk constraints on trading.

연구 동기 및 목표

• 불완전한 연속시간 금융 시장에서의 실용적 위험 제약 포트폴리오 최적화 필요성을 해결하기 위해.
• 실제 위험 관리 관행을 반영하기 위해 시간과 상태에 의존하는 일반적인 위험 측도(VaR, TVaR 등)를 사용해 위험 제약 조건을 모델링하기 위해.
• 해결책의 가측성과 예측 가능성 보장을 보장하는, 이러한 제약 조건 하에서 최적 투자에 대한 이론적 프레임워크를 구축하기 위해.
• 시간 일관성 있는 왜곡 위험 측도 하에서 삼자금 분리 결과를 도출하여 최적 전략의 구조를 단순화하기 위해.
• 수치적으로 해석 가능한 최적 전략의 특성화를 위해 이차 BSDE를 활용하여 시뮬레이션과 실용적 구현을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 자산 가격을 브라운 운동이 불확실성을 이끄는 연속시간 불완전 시장에서 이토 과정으로 모델링한다.
• 제어 변수에서의 공동 가측성과 연속성을 보장하기 위해 카라테오도리 함수로서의 위험 측도를 사용해 동적 위험 제약 조건을 부과한다.
• HIM05에서 제안한 이중성 방법을 활용해 최적 거래 전략을 이차 후행 확률미분방정식(quadratic backward stochastic differential equation, BSDE)으로 특성화한다.
• 전략의 탇법 집합이 가측성과 컴팩트-밸류드임을 보장하기 위해 약한 가측성과 닫힌 그래프 논증을 사용한다.
• BSDE의 드라이버가 카라테오도리 함수임을 확인하기 위해 정리 A.4를 적용하여 해의 예측 가능성 보장.
• 수치 시뮬레이션을 통해 위험 제약 조건이 포트폴리오 배분에 미치는 영향을 분석하며, 특히 위험 자산 노출 감소를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CRRA 선호도 하에서 동적이고 시간·상태에 의존하는 위험 제약 조건을 도입할 경우 최적 포트폴리오 배분에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 위험 제약 조건이 시간 일관성 있는 왜곡 위험 측도를 통해 모델링될 경우 삼자금 분리 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ3 이러한 제약 조건 하에서 최적 전략의 수학적 구조는 어떻게 되며, 이를 분석적으로 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 다양한 위험 측도(VaR, TVaR 등)가 시간에 따라 동적으로 적용될 경우 최적 투자 정책에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 위험 제약 조건이 위험 자산 노출을 어느 정도 감소시키며, 이는 BSDE 수식에 어떻게 반영되는가?

주요 결과

• 위험 제약 조건 하에서 최적 거래 전략은 이차 후행 확률미분방정식(quadratic backward stochastic differential equation, BSDE)으로 특성화되어 수치 계산이 가능하다.
• 시간 일관성 있는 왜곡 위험 측도 하에서 삼자금 분리 결과가 성립하여 최적 포트폴리오는 무위험 자산, 시장 자산, 그리고 위험 조정 자산의 조합으로 단순화된다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 위험 제약 조건이 위험 자산에 투자하는 비율을 상당히 감소시킴을 확인하였다.
• 위험 제약 조건이 적용된 전략의 탇법 집합이 약한 가측성과 컴팩트-밸류드임을 입증하여 수학적 해석 가능성 보장.
• BSDE의 드라이버가 카라테오도리 함수임을 증명하여 해 과정의 예측 가능성 보장.
• 닫힌 그래프 및 가측 선택 논증을 통해 근사 전략 수열이 최적 전략으로 수렴함을 입증하였다.