[논문 리뷰] Cubical models of $(\infty, 1)$-categories

Brandon Doherty, Chris Kapulkin외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연결을 가진 입방체 집합 위에 모델 구조를 구축하며, 여유공간은 단사함수이고, 피브란트 대상은 내부 열린 상자에 대한 오른쪽 끼워넣기 성질을 통해 정의된다—심플리셜 집합에서 내부 호른의 입방체 버전이다. 이 입방체 모델 구조와 심플리셜 집합 위의 조일 모델 구조 사이에 삼각화 함수자에 의해 쿼일렌 동치가 성립하며, 피브란트 입방체 대상 간의 약한 동치는 정확히 드위어-칸 동치임을 보여, 잘 정의된 사상 공간의 개념을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We construct a model structure on the category of cubical sets with connections whose cofibrations are the monomorphisms and whose fibrant objects are defined by the right lifting property with respect to inner open boxes, the cubical analogue of inner horns. We show that this model structure is Quillen equivalent to the Joyal model structure on simplicial sets via the triangulation functor. As an application, we show that cubical quasicategories admit a convenient notion of a mapping space, which we use to characterize the weak equivalences between fibrant objects in our model structure as DK-equivalences.

연구 동기 및 목표

• 심플리셜 집합 위의 조일 모델 구조에 대응하는 (∞,1)-범주를 위한 입방체 모델 구조를 개발한다.
• 내부 열린 상자—심플리셜 집합에서 내부 호른의 입방체 버전—에 대한 오른쪽 끼워넣기 성질을 통해 입방체 집합에서 피브란트 대상을 정의한다.
• 새로운 입방체 모델 구조와 심플리셜 집합 위의 조일 모델 구조 사이에 쿼일렌 동치를 확립한다.
• 입방체 쿼이지카테고리에서 자연스러운 사상 공간의 개념을 제공하여, 약한 동치를 드위어-칸 동치로 특성화할 수 있도록 한다.
• 삼각화 함수자 T: cSet → sSet 가 직선화-포인트 함수자 Q: sSet → cSet 를 핵심 기술 도구로 사용하여 쿼일렌 동치임을 보여, 이는 입방체와 심플리셜 (∞,1)-범주 이론 간의 동치를 증명한다.

제안 방법

• 에지가 등가성으로 표시되는 표시된 입방체 집합 위에 모델 구조를 구축하기 위해 제프 스미스의 정리를 사용한다.
• 최소 표시 함수자를 사용하여 표시된 모델 구조로부터 입방체 집합 위에 모델 구조를 왼쪽 유도한다.
• 내부 열린 상자를 내부 호른의 입방체 버전으로 정의하여, 피브란트 대상에 대한 적절한 채우기 조건을 포착한다.
• 심플리셜과 입방체 형태를 연결하는 입방체 이론의 콘을 도입하여, 포인트 위의 직선화 구조를 일반화한다.
• 직선화 함수자 Q: sSet → cSet 를 통해 쿼일렌 동치를 확립하며, 이 함수자가 쿼일렌 동치임을 보이고, 삼각화 함수자 T 의 유도된 함수자와 서로 역이 됨을 보인다.
• 박스 범주에 연결이 존재함을 이용하여 입방체와 심플리셜 사상 공간 간의 호환성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입방체 집합 위에 모델 구조를 구성할 수 있는가? 이 경우 피브란트 대상은 내부 열린 상자에 대한 오른쪽 끼워넣기 성질을 통해 정의되며, 심플리셜 집합에서의 내부 호른과 유사한가?
• RQ2 이 입방체 모델 구조는 심플리셜 집합 위의 조일 모델 구조와 쿼일렌 동치인가?
• RQ3 이 입방체 모델은 피브란트 대상 간의 약한 동치가 드위어-칸 동치로 특성화되는 잘 정의된 사상 공간의 개념을 허용하는가?
• RQ4 삼각화 함수자가 입방체와 심플리셜 (∞,1)-범주 이론 간의 쿼일렌 동치로 작용할 수 있는가?
• RQ5 박스 범주 내의 연결은 입방체와 심플리셜 호모토피 이론 간의 호환성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 연결을 가진 입방체 집합 위에 모델 구조를 구축하였으며, 여유공간은 단사함수이고, 피브란트 대상은 내부 열린 상자에 대한 오른쪽 끼워넣기 성질을 통해 정의된다.
• 삼각화 함수자 T: cSet → sSet 를 통해 이 모델 구조는 심플리셜 집합 위의 조일 모델 구조와 쿼일렌 동치이다.
• 피브란트 입방체 대상 간의 약한 동치는 정확히 드위어-칸 동치이며, 이는 호모토피 이론의 타당성을 확인한다.
• 삼각화 함수자 T 는 쿼일렌 동치이며, 이는 직선화-포인트 함수자 Q: sSet → cSet 가 쿼일렌 동치이자 삼각화 함수자 T 의 유도된 함수자와 역이 됨을 보여 간접적으로 증명된다.
• 입방체 이론의 콘은 심플리셜과 입방체 형태 간의 관계를 일반화된 프레임워크로 제공하며, 본 연구 이외의 응용 가능성도 있다.
• 이 구성은 박스 범주의 네 가지 변형(연결 없음, 한 개의 연결, 또는 둘 다)에 대해 모두 성립하지만, 입방체와 심플리셜 사상 공간 간의 완전한 비교는 양쪽 연결이 모두 필요하다.