[논문 리뷰] Cup-products in L q,p -cohomology: discretization and quasi-isometry invariance

Pierre Pansu|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계 기하 구조를 가진 리만 다성체에 대해 $L^{q,p}$-코호몰로지와 그 코ho몰로지의 컵곱 구조의 준등거리 불변성을 입증하기 위해, packing $\pi$-코호몰로지라는 메트릭 공간의 유사 이론을 도입하고, 이와 $L^{q,p}$-코호몰로지 간의 동형사상을 증명함으로써 달성한다. 주요 결과는 지수의 극한 경우로의 확장을 포함하며, 이는 곱셈적 구조가 준등거리 변환 하에서도 유지됨을 확인한다.

ABSTRACT

We relate $L^{q,p}$-cohomology of bounded geometry Riemannian manifolds to a purely metric space notion of $\\ell^{q,p}$-cohomology, packing cohomology. This implies quasi-isometry invariance of $L^{q,p}$-cohomology together with its multiplicative structure. The result partially extends to the Rumin $L^{q,p}$-cohomology of bounded geometry contact manifolds.

연구 동기 및 목표

• 유계 기하 구조를 가진 리만 다성체에 대해 $L^{q,p}$-코호몰로지의 준등거리 불변성을 확립하기 위해.
• 표준적인 $L^{q,p}$-코호몰로지가 $L^{\pi}$-코호몰로지로 대체되어야 하는 지수의 극한 경우인 $p=1$, $q=n/(n-1)$ 및 $p=n$, $q=\infty$로의 확장을 위해.
• 표준적인 $L^{q,p}$-코호몰로지의 컵곱 구조가 준등거리 변환 하에서도 불변임을 증명하기 위해.
• 연속 이론을 근거로 하는 이산적 메트릭 공간 기반 이론—패킹 $\ell^{q,p}$-코호몰로지—를 개발하여, 이론의 불변성 증명을 가능하게 하기 위해.
• 최근 헤이센베르크 군에서의 $L^1$-해석적 결과를 활용하여, Rumin의 복합체를 갖춘 접촉 다성체로 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 메트릭 공간에 대해 균일 커버링과 코체인 위의 $\ell^{q,p}$-노름을 이용해 정의된 새로운 이산 코호몰로지 이론—패킹 $\ell^{q,p}$-코호몰로지—를 도입하기 위해.
• 공간 내 구간에서의 파oincaré 부등식을 이용해, 리만 다성체에서의 $L^{q,p}$-코호몰로지와 이산 패킹 코호몰로지 간의 관계를 설정하기 위해 레라의 약한 커버링 정리의 특수한 변형을 사용하기 위해.
• 균일한 0 코호몰로지와 제어 가능한 파oincaré 부등식을 이용해, 모든 척도에서 $L^{q,p}$-코호몰로지와 패킹 $\ell^{q,p}$-코호몰로지 간의 동형사상을 수립하기 위해.
• 패킹 코호몰로지가 본질적으로 준등거리 불변임을 알 수 있도록 앨리서ander-스펜저 코체인과 리프스 복합체를 사용하기 위해.
• 접촉 다성체의 경우, Rumin의 복합체와 [BFP]에서의 스무딩 연산자를 사용해 $L^{\pi}$-Rumin 코체인과 $W^{1,\pi}$-Rumin 코체인 간의 호모토피 동치를 구성하기 위해.
• 스무딩 및 외계수 연산자에 대한 반복 호모토피 관계를 반복 적용함으로써 $L^{\pi}$-Rumin 복합체가 준등거리 불변임을 증명하기 위해, $r$과 $W$를 포함하는 다항식을 사용해 오차 항을 제거하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 지수 쌍 $1 \leq p \leq q \leq \infty$에 대해, $L^{q,p}$-코호몰로지와 그 컵곱 구조가 준등거리 불변임을 보일 수 있는가? 이는 극한 경우를 포함한다.
• RQ2 패킹 코호몰로지로 정의된 순수 메트릭 공간 기반의 $\ell^{q,p}$-코호몰로지가 유계 기하 리만 다성체에서 $L^{q,p}$-코호몰로지와 일치하는가?
• RQ3 Rumin의 복합체가 미분 대수를 이루지 않기 때문에, $L^{q,p}$-코호몰로지의 곱셈적 구조가 준등거리 변환 하에서도 유지되는가?
• RQ4 균일 커버링과 파oincaré 부등식을 통한 이산화 방법이 유계 기하의 서브리만 다성체로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 일반적인 등규칙 카르노 다성체로의 확장을 위해 헤이센베르크의 경우를 초월해 필요한 분석 도구는 무엇인가?

주요 결과

• 유계 기하 리만 다성체에서 차수 $k-1$까지 코호몰로지가 균일하게 0이 되는 경우, $L^{q,p}$-코호몰로지와 패킹 $\ell^{q,p}$-코호몰로지는 차수 $k-1$까지 벡터 공간으로 동형이며, 정확한 $L^{q,p}$-코호몰로지와 정확한 패킹 $\ell^{q,p}$-코호몰로지는 차수 $k$에서 동형이다.
• 이 동형사상은 위상적이고, $(p,q) \neq (1, n/(n-1))$ 또는 $(n, \infty)$일 경우 바나흐 복합체의 호모토피 동치로부터 유래하며, 코arse 임bedding에 대해 함자적이다.
• 표준적인 $L^{q,p}$-코호몰로지의 컵곱 구조는 준등거리 변환 하에서도 유지되며, 모든 경우에서의 불변성을 입증한다.
• 지수의 극한 경우인 $p=1$, $q=n/(n-1)$ 및 $p=n$, $q=\infty$에서는 표준적인 $L^{q,p}$-코호몰로지가 $\pi = \mathcal{H}^1$ 또는 $BMO$인 $L^{\pi}$-코호몰로지로 대체되며, 패킹 코호몰로지와의 동형관계는 그대로 유지된다.
• 유계 기하와 카르노-카라테오도리 메트릭을 갖춘 접촉 다성체에서, $L^{\pi}$-Rumin 코호몰로지는 스무딩 연산자와 반복 호모토피 구성법을 통해 준등거리 불변이다.
• 증명은 오차 항을 제거하기 위해 $W^L = 0$이 $L$번 반복 후 성립하도록 보장하는 다항식 호모토피 구성에 의존한다. 여기서 $W$는 스무딩 및 외계수 오차를 조합한 것이다.