[논문 리뷰] Curious continued fractions, nonlinear recurrences and transcendental numbers

Andrew N. W. Hone|Kent Academic Repository (University of Kent)|2015. 06. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 재귀로 정의된 특정한 빠르게 증가하는 정수 수열의 역수 합이 연분수 전개를 가지며, 이 전개가 원래 수열과 그 비율을 교차로 포함함을 증명한다. 특히 Hone의 분류 체계에서 (iii)류에 속하는 수열에 대해 성립한다. 저자들은 Roth의 디오판틴 근사 이론을 활용하여 이러한 합이 초월수임을 입증한다. 이는 수열의 이중지수적 증가 속도 덕분에 필요한 근사 조건을 만족하기 때문이다.

ABSTRACT

We consider a family of integer sequences generated by nonlinear recurrences of the second order, which have the curious property that the terms of the sequence, and integer multiples of the ratios of successive terms (which are also integers), appear interlaced in the continued fraction expansion of the sum of the reciprocals of the terms. Using the rapid (double exponential) growth of the terms, for each sequence it is shown that the sum of the reciprocals is a transcendental number.

연구 동기 및 목표

• Hanna의 경험적 관찰을 일반화하기 위해, 수열 A112373의 역수 합의 연분수 전개가 원래 수열과 그 비율을 교차로 포함한다는 것을 증명하고자 한다.
• 두 번째 차수 비선형 재귀식 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $를 만족하는 무한한 정수 수열의 집합에서 이 교차 성질이 성립함을 증명하고자 한다. 여기서 $ F(0) = 1 $ 이다.
• 디오판틴 근사 이론을 활용하여 이러한 수열의 역수 합의 초월성을 입증하고자 한다.
• Davison와 Shallit의 초월 연분수 결과를 더 넓은 범위의 비선형 재귀로 생성된 수열로 확장하고자 한다.

제안 방법

• F(0) = 1 인 재귀식에서 정수 수열을 보장하기 위해 로렌트 성질을 활용한다. 초기 조건은 $ x_0 = x_1 = 1 $ 으로 시작한다.
• 로그 기반 재귀식 $ \Lambda_{n+1} - (d+2)\Lambda_n + \Lambda_{n-1} = \log c + \alpha_n $ 를 통해 수열 $ x_n $ 의 성장률을 분석한다. 여기서 $ \Lambda_n = \log x_n $ 이다.
• 점점 더 큰 값으로 수렴하는 점근적 행동 $ \Lambda_n \sim C\lambda^n $ 를 유도하며, 이때 $ \lambda = \frac{d+2 + \sqrt{d(d+4)}}{2} > 2 $ 이다. 이는 이중지수적 성장임을 보여준다.
• 재귀식 $ a_{2n} = a_{2n-1}a_{2n-2} $, $ a_{2n+1} = a_{2n-1}(a_{2n} + 1) $ 를 이용해 연분수 부분분수들이 $ x_n $ 와 $ y_n = x_{n+1}/x_n $ 를 교차로 포함함을 증명한다.
• Roth의 디오판틴 근사 정리 적용: 만약 어떤 수가 $ \kappa > 2 $ 인 경우에 대해 무한히 많은 유리수 근사 $ p/q $ 를 만족하는 $ |\alpha - p/q| < 1/q^{\kappa} $ 를 가질 경우, 그 수는 초월수이다.
• 수열의 성장률 $ x_{n+1} > x_n^{\lambda - \epsilon} $ 이며 $ \lambda > 2 $ 이므로, 합 $ \mathcal{S} $ 가 초월성을 만족하는 조건을 충족함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀식 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $ 를 만족하고 $ F(0) = 1 $ 인 수열의 역수 합의 연분수 전개가 원래 수열과 그 비율을 교차로 포함하는가?
• RQ2 항의 이중지수적 성장 덕분에 이러한 합의 초월성을 디오판틴 근사 이론으로 증명할 수 있는가?
• RQ3 Hone의 재귀 분류 체계에서 (iii)류에 속하는 모든 수열에 대해 연분수 전개의 교차 성질이 일반적인 특성인가?
• RQ4 수열의 점근적 성장률이 역수 합의 근사 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 수열 A112373에 사용된 방법을 다항식 $ F \in \mathbb{Z}_{\geq 0}[x] $, $ F(0) = 1 $ 인 모든 재귀식으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 재귀식 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2(x_{n+1} + 1) $ 로 정의된 수열에 대해, 역수 합 $ \mathcal{S} = \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{x_j} $ 는 연분수 전개 $ [2; 1, 1, 2, 2, 6, 12, 78, \dots] $ 를 가지며, 이는 원래 수열과 그 비율을 교차로 포함한다.
• 부분분수 $ a_n $ 은 $ a_{2n} = a_{2n-1}a_{2n-2} $ 과 $ a_{2n+1} = a_{2n-1}(a_{2n} + 1) $ 를 만족하며, 이는 교차 구조가 확인됨을 뒷받침한다.
• 수열 $ x_n $ 은 이중지수적으로 증가하며, $ \log x_n \sim C\lambda^n $ 이다. 원래 사례에서는 $ \lambda = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 $ 이다.
• 모든 $ F(0) = 1 $ 인 경우에 대해, 합 $ \mathcal{S} $ 는 초월수이다. 이는 성장률 $ x_{n+1} > x_n^{\lambda - \epsilon} $ 이며 $ \lambda > 2 $ 이므로 무한히 많은 좋은 유리수 근사가 존재하기 때문이다.
• 이 결과는 $ F \in \mathbb{Z}_{\geq 0}[x] $, $ F(0) = 1 $ 인 모든 재귀식 $ x_{n+2}x_n = x_{n+1}^2 F(x_{n+1}) $ 로 일반화 가능하며, 동일한 연분수 및 초월성 성질을 유지한다.
• 점근 공식 $ x_n \sim c^{-1/d} \exp(C\lambda^n) $ 이 도출되었으며, 여기서 $ \lambda = \frac{d+2 + \sqrt{d(d+4)}}{2} > 2 $ 이다. 이는 초월성에 필요한 성장 조건을 확인한다.