[논문 리뷰] Current results on Newton polygons of curves

Rachel Pries|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 12.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 매끄러운 곡선의 야코비안에 대한 뉴턴 다각형과 에케다-오르트 유형에 관한 현재 지식을 조사하며, 두 가지 새로운 결과를 증명한다: 첫째, 각 홀수 소수 $p$에 대해 $¯{\mathbb{F}}_p$ 위에서 임의의 무한한 많은 수의 새로운 $g$ 값에 대해 초승성 곡선이 존재한다; 둘째, 뉴턴 다각형과 에케다-오르트 스트라타 기하학에 관한 질문들이 $p$-랭크 0 경우로 환원될 수 있음을 보여주는 환원 정리가 수립되며, 이는 높은 계수에서 특정 뉴턴 다각형의 존재 결과를 도출할 수 있게 한다.

ABSTRACT

There are open questions about which Newton polygons and Ekedahl-Oort types occur for Jacobians of smooth curves of genus $g$ in positive characteristic $p$. In this chapter, I survey the current state of knowledge about these questions. I include a new result, joint with Karemaker, which verifies, for each odd prime $p$, that there exist supersingular curves of genus $g$ defined over $\overline{\mathbb F}_p$ for infinitely many new values of $g$. I sketch a proof of Faber and Van der Geer's theorem about the geometry of the $p$-rank stratification of the moduli space of curves. The chapter ends with a new theorem, in which I prove that questions about the geometry of the Newton polygon and Ekedahl-Oort strata can be reduced to the case of $p$-rank $0$.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 곡선의 야코비안에 대해 양의 특성 $p$에서 어떤 뉴턴 다각형과 에케다-오르트 유형이 나타나는지에 관한 현재 지식의 상태를 조사하는 것.
• 모든 $g$에 대해 $¯{\mathbb{F}}_p$ 위에서 초승성 곡선이 존재하는지 여부에 대한 열린 문제를 다루는 것, 특히 홀수 소수 $p$에 대해.
• 뉴턴 다각형과 에케다-오르트 스트라타 기하학에 관한 질문들이 $p$-랭크 0 경우로 환원될 수 있도록 하는 환원 원칙을 수립하는 것.
• 환원 정리를 이용하여 $g \geq 4$ 및 $p$-랭크 $g-4$인 특정 뉴턴 다각형을 갖는 매끄러운 곡선의 존재를 증명하는 것.

제안 방법

• 곡선의 모듈리 공간 $\mathcal{M}_g$에서 $p$-랭크 분할과 뉴턴 다각형 분할 이론을 사용한다.
• 파버와 반 더 게어의 결과를 적용하여 $p$-랭크 $f$ 분할의 차원을 계산한다: $\dim \mathcal{M}_g^f = 2g - 3 + f$.
• 이소지니 리브와 토렐리 다양체를 이용하여 아벨 다양체의 모듈리 공간에서의 교차를 분석한다.
• 대칭 $\mathrm{BT}_1$ 군 스킴의 분류를 활용하여 에케다-오르트 유형을 특성화한다.
• 추가 구조(예: $\mathbb{Z}[\zeta_3]$-작용)를 갖는 아벨 다양체의 모듈리 공간의 뉴턴 다각형 분할을 이용하여 예시를 구성한다.
• 뉴턴 다각형과 에케다-오르트 유형의 기하학적 질문들이 $p$-랭크 0 경우로 환원될 수 있음을 보여주는 환원 정리(정리 6.4)를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각 홀수 소수 $p$에 대해, $¯{\mathbb{F}}_p$ 위에서 초승성 곡선이 존재하는 새로운 $g$ 값이 무한히 많은가?
• RQ2 곡선의 모듈리 공간에서 뉴턴 다각형과 에케다-오르트 스트라타 기하학은 $p$-랭크 0 경우로 환원될 수 있는가?
• RQ3 $g \geq 4$일 때, $p$-랭크 $g-4$ 분할의 어떤 기약 성분에서 뉴턴 다각형 $\xi_4^{+(g-4)}$가 일반적으로 나타나는가?
• RQ4 $g \geq 5$일 때, 야코비안의 뉴턴 다각형 기울기가 $1/g$와 $(g-1)/g$인 매끄러운 곡선이 존재하는가?
• RQ5 야코비안의 뉴턴 다각형 기울기가 $2/5$와 $3/5$인 매끄러운 곡선이 존재하는가? (특히, $g=5$인 경우)

주요 결과

• 각 홀수 소수 $p$에 대해, $¯{\mathbb{F}}_p$ 위에서 임의의 무한한 많은 새로운 $g$ 값에 대해 초승성 곡선이 존재한다. (카레메커와 공동으로 증명함.)
• $p$-랭크 $f$ 분할 $\mathcal{M}_g^f$의 차원은 모든 소수 $p$와 정수 $g \geq 2$, $0 \leq f \leq g$에 대해 $2g - 3 + f$이며, 파버와 반 더 게어의 결과를 확인한다.
• 정리 6.4는 뉴턴 다각형과 에케다-오르트 스트라타의 기하학에 관한 질문들이 $p$-랭크 0 경우로 환원될 수 있음을 보여준다.
• 모든 소수 $p$와 모든 $g \geq 4$에 대해, $¯{\mathbb{F}}_p$ 위에서 계수 $g$와 $p$-랭크 $g-4$인 매끄러운 곡선이 존재하며, 그 뉴턴 다각형의 기울기는 $0, 1/4, 3/4, 1$이다. (정리 6.5에 기재됨.)
• $\mathcal{M}_4$의 $p$-랭크 0 분할은 뉴턴 다각형이 $\xi_4$인 점이 일반적인 성분을 포함한다. 이는 계수 4에서 그러한 곡선의 존재를 확인한다.
• 계수 5에서 뉴턴 다각형이 $\xi_5'$인 곡선의 존재성은 아직 열려 있으며, 만약 그러한 아벨 다양체의 이소지니 리브가 $\mathcal{A}_5$의 토렐리 다양체와 교차한다면 가능성이 있다.