[논문 리뷰] Current status linear regression

Piet Groeneboom, Kim Hendrickx|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 02.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최대우도추정치(MLE)를 이용한 무한차원 분포함수의 비연속적 추정 방법을 제안한다. 이 방법은 스무딩을 사용하지 않고도 √n-일致성과 점근정규성을 확립하며, 유한한 일반화된 피셔 정보가 존재할 경우 효율성에 임의로 가까운 추정량을 구성한다. 이는 프로파일 MLE의 일치성에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We construct $\sqrt{n}$-consistent and asymptotically normal estimates for the finite dimensional regression parameter in the current status linear regression model, which do not require any smoothing device and are based on maximum likelihood estimates (MLEs) of the infinite dimensional parameter. We also construct estimates, again only based on these MLEs, which are arbitrarily close to efficient estimates, if the generalized Fisher information is finite. This type of efficiency is also derived under minimal conditions for estimates based on smooth non-monotone plug-in estimates of the distribution function. Algorithms for computing the estimates and for selecting the bandwidth of the smooth estimates with a bootstrap method are provided. The connection with results in the econometric literature is also pointed out.

연구 동기 및 목표

• 현재 상태 선형 회귀 모델에서 유한차원 회귀 매개변수에 대해 √n-일치하고 점근정규적인 추정량을 개발하는 것.
• 프로파일 최대우도추정치(MLE)가 회귀 매개변수에 대해 √n-일치하는지 여부에 대한 열린 문제를 다루는 것.
• 유한한 일반화된 피셔 정보 하에서 효율성에 임의로 가까운 추정량을 구성하는 것. 이는 스무딩 장치에 의존하지 않는 것.
• 추정량을 계산하는 알고리즘과 스무딩 플러그인 추정량의 밴드폭 선택을 위한 부트스트랩 방법을 제공하는 것.
• 이코노메트릭 문헌의 이진선택모델과 현재 상태 데이터 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 고정된 $\beta$에 대해 분포함수 $F$의 비모수적 MLE를 사용하여 스무딩을 피함.
• 고정된 $\beta$에 대해 $\hat{F}_{n,\beta}$를 사용하는 비연속적 스코어 함수의 근을 통해 하이브리드 추정량을 정의함.
• 고정된 $\beta$ 하에서 $F$의 최대우도추정치의 최대화점인 argmax MLE를 활용하지만, $\hat{\beta}_n$은 프로파일 우도 최대화가 아닌 스코어 방정식을 통해 정의함.
• 스코어 함수의 일차 근사 전개를 통해 점근정규성을 확립하며, 오차 항은 $h \ll n^{-1/4}$인 밴드폭을 통해 통제함.
• 일반화된 피셔 정보에 따라 보정항을 포함시켜 효율성 경계에 접근함.
• 스무딩되지 않은 비단조화 플러그인 추정량의 밴드폭 선택을 위해 부트스트랩 방법을 사용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스무딩을 사용하지 않고도 현재 상태 선형 회귀 모델의 회귀 매개변수에 대해 √n-일치하고 점근정규적인 추정량을 구성할 수 있는가?
• RQ2 프로파일 MLE가 $\beta_0$에 대해 √n-일치하는가? 만약 그렇지 않다면 어떤 대체 추정량이 이 속도를 달성하는가?
• RQ3 유한한 일반화된 피셔 정보 하에서 효율성에 임의로 가까운 추정량을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 방법은 특히 이진선택모델에서 기존의 접근법과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ5 스무딩 플러그인 추정량의 점근정규성 달성을 위해 밴드폭 선택이 수행하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 비연속적 스코어 함수의 근을 기반으로 한 제안된 추정량은 프로파일 MLE의 수렴 속도가 알려지지 않은 상태에서도 √n-일치하고 점근정규적임을 입증함.
• 일반화된 피셔 정보가 유한할 경우, 추정량의 점근분포는 반경분포 효율성 경계와 정확히 일치함.
• $h \ll n^{-1/4}$ 조건 하에서 $\sqrt{n}(\hat{\beta}_n - \beta_0)$의 점근분포는 평균이 0이고 분산이 $\int \frac{F_0(v)(1-F_0(v))}{f_{T-\beta_0'X}(v)} dv$인 정규분포임.
• 점근전개의 두 주요 항 간의 공분산이 0임을 확인하여 점근적 무상관성을 입증하고, 정규근사의 타당성을 뒷받침함.
• 주요 추정량은 스무딩을 완전히 회피하며, 고정된 $\beta$에 대한 $F$의 비모수적 MLE에 의존함. 이는 핵심적인 혁신이다.
• 스무딩 플러그인 추정량의 실용적 구현을 가능하게 하기 위해 부트스트랩 기반의 밴드폭 선택 방법을 제공함.