[논문 리뷰] Curvature integral estimates for complete hypersurfaces

Hilário Alencar, Walcy Santos외 1명|ArXiv.org|2009. 03. 11.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공간형에서 완전 초곡면의 곡률 적분 추정을 분석함으로써 r-평균 곡률 $ S_r $ 를 통해 수행하며, $ S_{r+1} $ 가 음이 아니고 0이 되는 조건 하에서 적분 $ \int_M S_r \, dM $ 가 무한대로 발산함을 증명한다. 주요 결과는 체적 성장 추정을 고차원 곡률 적분으로 확장하여 유클리드 및 공간형 기하학에서 최소 및 일정 평균 곡률 초곡면에 대한 고전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We consider the integrals of $r$-mean curvatures $S_r$ of a complete hypersurface $M$ in space forms $\mathcal{Q}_c^{n+1}$ which generalize volume $(r=0)$, total mean curvature $(r=1)$, total scalar curvature $(r=2)$ and total curvature $(r=n)$. Among other results we prove that a complete properly immersed hypersurface of a space form with $S_r\geq 0$, $S_r ot\equiv 0$ and $S_{r+1}\equiv 0$ for some $r\le n-1$ has $\int_MS_rdM=\infty.$

연구 동기 및 목표

• 최소 및 일정 평균 곡률 초곡면에 대한 체적 성장 추정을 고차원 곡률 적분으로 일반화하기 위해.
• 공간형 $ \mathcal{Q}_c^{n+1} $ 에서 완전하고 적절히 매장된 초곡면에 대해 $ \int_M S_r \, dM $ 의 유한성 또는 무한성을 조사하기 위해.
• 특히 $ S_r \geq 0 $, $ S_r \not\equiv 0 $, 그리고 $ S_{r+1} \equiv 0 $ 인 조건 하에서 $ \int_M S_r \, dM = \infty $ 가 되는 조건을 확립하기 위해.
• 뉴턴 변환과 거리 함수 추정을 포함한 기하학적 및 분석적 기법을 사용하여 최소 곡면(Cohn-Vossen 등)의 결과를 고차원 곡률 함수로 확장하기 위해.

제안 방법

• r차 뉴턴 변환 $ P_r $ 과 $ S_r $, $ S_{r+1} $ 를 포함한 곡률 추정을 사용하여 적분 하한을 유도한다.
• 거리 함수 $ \rho $ 와 $ M $ 상의 내재 거리 계량을 이용한 비교 기하학을 적용하며, $ |\text{grad}_M \rho| \leq 1 $ 을 통해 체적 요소를 제어한다.
• 공간형에서 곡률 $ c = \kappa^2 $ 인 경우의 체적 성장 함수 $ s_\kappa(\tau) $ 를 포함한 미분 부등식을 사용하여 $ \int_{B_\mu(q)} S_r \, dM $ 에 대해 지수적 하한을 도출한다.
• 핵심 추정: $ c \leq 0 $ 이고 $ c > 0 $ 이면 $ \mu \leq \pi/(2\kappa) $ 인 경우에 대해 $ \int_{\overline{B}_\mu(q) \cap M} S_r \, dM \geq \int_{\mu_0}^\mu C e^{-\alpha \tau} \, d\tau $ 를 유도한다.
• 커버링 추론과 Topping(2006)의 보조정리를 적용하여 평균 곡률 적분과 체적 성장 간의 관계를 규명하며, 다항식 체적 성장 하한 조건 하에서 $ \int_M |H|^{m-1} \, dM = \infty $ 를 증명한다.
• 가우스-보네 관계와 점근적 체적 성장 함수를 사용하여 총 곡률과 오일러 특성수에 대한 조건을 도출함으로써, 표면에서 평균 곡률 적분이 무한대가 되는 조건을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간형에서 완전하고 적절히 매장된 초곡면에 대해 $ r $-평균 곡률 적분 $ \int_M S_r \, dM $ 가 어떤 조건에서 발산하는가?
• RQ2 최소 초곡면에 대한 고전적 체적 성장 결과를 $ r \geq 2 $ 인 고차원 곡률 적분 $ S_r $ 로 확장할 수 있는가?
• RQ3 $ S_{r+1} $ 가 0이 되는 것이 $ \int_M S_r \, dM $ 의 발산을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가? 특히 $ S_r \geq 0 $ 이고 식별적으로 0이 아닐 경우에 대해.
• RQ4 뉴턴 변환 $ P_r $ 과 곡률 압축 조건 $ (r+1)|S_{r+1}| \leq (n-r)\alpha S_r $ 는 $ r $-면적 적분의 성장에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 체적 성장 제약 조건을 사용하여 유클리드 공간의 완전한 부분다양체에 대해 평균 곡률 적분 추정을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 만약 어떤 $ r \leq n-1 $ 에 대해 $ S_r \geq 0 $, $ S_r \not\equiv 0 $, 그리고 $ S_{r+1} \equiv 0 $ 이면, $ c \leq 0 $ 인 공간형에서 $ \int_M S_r \, dM = \infty $ 가 성립한다.
• 공간형에서 $ c > 0 $ 이면, 거리 함수가 볼록 영역에 머무르도록 보장하는 추가 조건 $ \mu \leq \pi/(2\kappa) $ 가 필요하다.
• 적분 $ \int_{B_\mu(q) \cap M} S_r \, dM $ 는 적어도 $ \int_{\mu_0}^\mu C e^{-\alpha \tau} \, d\tau $ 의 속도로 증가하며, 곡률 압축 조건 하에서 무한성에 도달함을 의미한다.
• 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^n $ 에서 완전한 $ m $-차원 부분다양체에 대해 $ \limsup_{r \to \infty} V(x,r)/r^m < \delta $ 이면 $ \int_M |H|^{m-1} \, dM = \infty $ 가 성립하며, 이때 $ \delta > 0 $ 은 $ m $ 에 따라 달라진다.
• 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^n $ 에서 완전한 표면에 대해 $ 2\pi\chi(M) - \int_M K \, dM < 2\delta $ 이면 $ \int_M |H| \, dM = \infty $ 가 성립하며, 이 조건이 정확함을 보여준다.
• 이 결과는 Cohn-Vossen 정리의 일반화이다: 유한한 총 곡률은 $ \int_M K \, dM < \infty $ 를 의미하지만, 유사한 위상적 제약 조건 하에서 $ \int_M H \, dM $ 는 동일한 성질를 갖지 못한다.