[논문 리뷰] Curvature of closed subsets of Euclidean space and minimal submanifolds of arbitrary codimension

Mario Santilli|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 04.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 공간의 닫힌 부분집합에서의 주요 곡률과 구상도 사상의 근사 미분의 고유값 사이의 연결 고리를 설정하며, 양측의 곡률이 양호한 영역을 갖는 집합에 대해 페더러와 자헬레의 결과를 일반화한다. 임의의 닫힌 집합에 대해 두 번째 기본형식 $ Q_A $ 를 도입하여, 그 2차 근사 미분이 $ Q_A $ 의 절대 연속 부분과 일치함을 보이고, 이는 칼데론–지그문드 이론을 고차원 최소 다양체로 확장한다.

ABSTRACT

Given an arbitrary closed set A of $\mathbf{R}^{n}$, we establish the relation between the eigenvalues of the approximate differential of the spherical image map of A and the principal curvatures of A introduced by Hug-Last-Weil, thus extending a well known relation for sets of positive reach by Federer and Zaehle. Then we provide for every $ m = 1, \ldots , n-1 $ an integral representation for the support measure $ \mu_{m} $ of A with respect to the m dimensional Hausdoff measure. Moreover a notion of second fundamental form $Q_{A} $ for an arbitrary closed set A is introduced so that the finite principal curvatures of A correspond to the eigenvalues of $ Q_{A} $. We prove that the approximate differential of order 2, introduced in a previous work of the author, equals in a certain sense the absolutely continuous part of $ Q_{A} $, thus providing a natural generalization to higher order differentiability of the classical result of Calderon and Zygmund on the approximate differentiability of functions of bounded variation.

연구 동기 및 목표

• 집합의 양호한 영역에서의 고전적 곡률과 미분 구조의 관계를, $\mathbf{R}^n$ 의 임의의 닫힌 부분집합으로 일반화하는 것.
• 모든 $ m = 1, \dots, n-1 $ 에 대해 $ m $-차원 하우스도르프 측도에 대한 지지 측도 $ \mu_m $ 의 적분 표현을 제공하는 것.
• 그의 고유값이 유한한 주요 곡률과 대응하는 임의의 닫힌 집합에 대해 두 번째 기본형식 $ Q_A $ 를 정의하는 것.
• 2차 근사 미분과 $ Q_A $ 의 절대 연속 부분 사이의 연결 고리를 확립하여, 칼데론–지그문드 결과를 고차원으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 임의의 닫힌 집합 $ A \subset \mathbf{R}^n $ 에 대해 두 번째 기본형식 $ Q_A $ 의 개념을 도입하고, 고유값을 통해 주요 곡률과 연결하는 것.
• 구상도 사상과 연관하여, $ A $ 의 근사 미분을 곡률 정보와 연결함으로써, 페더러와 자헬레의 프레임워크를 일반화하는 것.
• $ m = 1, \dots, n-1 $ 에 대해 $ m $-차원 하우스도르프 측도를 사용하여 지지 측도 $ \mu_m $ 의 적분 표현을 유도하는 것.
• 2차 근사 미분을 정의하고, 그것이 측도론적 의미에서 $ Q_A $ 의 절대 연속 부분과 일치함을 보이는 것.
• 기하 측도 이론과 근사 미분의 도구를 적용하여, 유계 변동 함수에 대한 고전 결과를 고차원 설정으로 확장하는 것.
• 부드럽지 않은 경우에도 $ Q_A $ 의 스펙트럼 성질과 곡률 불변량 사이의 대응관계를 설정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유클리드 공간 $ \mathbf{R}^n $ 의 임의의 닫힌 집합의 주요 곡률은 어떤 미분기하학적 대상으로 특징지을 수 있는가?
• RQ2 양호한 영역의 경우를 초월하여, 구상도 사상의 근사 미분과 닫힌 집합의 곡률 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 모든 $ m = 1, \dots, n-1 $ 에 대해 하우스도르프 측도를 사용하여 지지 측도 $ \mu_m $ 를 어떻게 적분적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 두 번째 기본형식 $ Q_A $ 는 부드러운 다양체에 대한 고전적 두 번째 기본형식을 어떤 식으로 일반화하는가?
• RQ5 2차 근사 미분은 $ Q_A $ 의 절대 연속 부분과 어떤 식으로 관련되어 있으며, 이는 기하 측도 이론에서 고차 미분 가능성에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 닫힌 부분집합 $ A \subset \mathbf{R}^n $ 의 구상도 사상의 근사 미분의 고유값은 허그, 라스트, 와일이 정의한 주요 곡률과 정확히 일치한다.
• 모든 $ m = 1, \dots, n-1 $ 에 대해 지지 측도 $ \mu_m $ 의 적분 표현이 $ m $-차원 하우스도르프 측도를 통해 확립되었다.
• 임의의 닫힌 집합에 대해 두 번째 기본형식 $ Q_A $ 가 정의되었으며, 그 고유값은 집합 $ A $ 의 유한한 주요 곡률을 정확히 포착한다.
• 2차 근사 미분은 $ Q_A $ 의 절대 연속 부분과 일치하며, 이는 칼데론–지그문드 정리가 고차원 최소 다양체로 자연스럽게 일반화됨을 보여준다.
• 이 이론은 원래는 양호한 영역을 갖는 집합이나 부드러운 다양체에서만 유효했던 고전적 곡률과 미분 가능성 결과를, 유클리드 공간의 임의의 닫힌 부분집합으로 확장한다.
• 이 이론은 비연속성과 고차원 다양체에 적용 가능한 단일이고 통합된 프레임워크 안에서 곡률, 측도, 미분 가능성의 통합을 이룬다.