[논문 리뷰] Curvature of vector bundles and subharmonicity of Bergman kernels

Bo Berndtsson|ArXiv.org|2005. 05. 23.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가중 $L^2$-공간의 정칙 함수들에 관련된 버그먼 커널이 엄격한 다중하나형임을 증명함으로써, 이에 대응하는 무한계수 복소수선다발이 나카노의 의미에서 엄격한 양의 곡률을 가진 헤르미트 계량을 지닌다는 것을 확립한다. 이 결과는 정칙 선다발로 확장된다: 하츠혼의 의미에서 약한 정칙 선다발 $V$가 주어지면, 모든 $m \geq 0$ 에 대해 $S^m(V) \bigotimes \det V$ 는 엄격한 나카노 곡률을 가진 헤르미트 계량을 가진다. 이는 이전의 버그먼 커널의 하모닉성 결과를 일반화하며, 약함의 새로운 곡률 기준을 제공한다.

ABSTRACT

In a previous paper, \cite{Berndtsson}, we have studied a property of subharmonic dependence on a parameter of Bergman kernels for a family of weighted $L^2$-spaces of holomorphic functions. Here we prove a result on the curvature of a vector bundle defined by this family of $L^2$-spaces itself, which has the earlier results on Bergman kernels as a corollary. Applying the same arguments to spaces of holomorphic sections to line bundles over a locally trivial fibration we also prove that if a holomorphic vector bundle, $V$, over a complex manifold is ample in the sense of Hartshorne, then $V\gr\det V$ has an Hermitian metric with curvature strictly positive in the sense of Nakano.

연구 동기 및 목표

• 가중 공간의 가중 가족에 대해 정칙 $L^2$-절단의 선다발의 엄격한 나카노 양성도를 확립하는 것.
• 곡률 결과로부터 버그먼 커널의 하모닉성을 따름으로써 이를 유도하는 것.
• 곡률 양성도 결과를 프로젝티브 다발 위의 정칙 피브레이션과 선다발로 확장하는 것.
• 하츠혼의 의미에서 약한 정칙 선다발 $V$ 가 주어지면, $S^m(V) \otimes \det V$ 가 엄격한 나카노 곡률을 가진 헤르미트 계량을 가진다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 정칙 선다발의 부분다발에 대한 그리피스의 곡률 공식을 사용하여, 부분다발의 곡률이 환경 다발과 제2 기본형과 관련이 있음을 규명한다.
• 두 번째 기본형을 제어하기 위해 $\bar{\partial}$-방정식에 대한 헤르미트의 $L^2$-추정을 적용한다.
• 지역적으로 평탄한 피브레이션의 섬유 위에서 $L \otimes K_{X_t}$ 의 정칙 절단의 다발 $E$ 를 구성하여 표준적인 $L^2$-계량을 정의한다.
• 콤��� 만다의 선다발에 대한 코다이라-나카노-헤르미트 추정을 사용하여 피브레이션 설정에서 곡률을 제어한다.
• 프로젝티브 다발 위에서 선다발 $O_{\mathbb{P}(V)}(l)$ 의 케르른 연결과 곡률을 분석하여 $E(l)$ 의 곡률을 $V$ 의 기하학과 연결한다.
• $E(r) = \det V$ 와 $E(r+1) = V \otimes \det V$ 를 사용하여 관련 다발을 식별하고 곡률 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 $t$ 에 대해 버그먼 커널 함수 $K_t(z,z)$ 는 엄격한 다중하나형인가?
• RQ2 가중 공간의 가족에 대해 정칙 $L^2$-절단의 선다발은 나카노 의미에서 엄격한 양의 곡률을 가진 헤르미트 계량을 지닌다.
• RQ3 양의 선다발 $L$ 과 함께 지역적으로 평탄한 정칙 피브레이션에서, $L \otimes K_{X_t}$ 의 정칙 절단의 다발 $E$ 는 곡률이 엄격하게 양수인가?
• RQ4 하츠혼의 의미에서 약한 정칙 선다발 $V$ 가 주어지면, $S^m(V) \otimes \det V$ 는 엄격한 나카노 곡률을 가진 헤르미트 계량을 가진다.

주요 결과

• 가중 공간의 가족에 대해 정칙 $L^2$-절단의 선다발 $E$ 는 나카노 의미에서 엄격한 양의 곡률을 가진 헤르미트 계량을 가진다.
• 그 결과로, 버그먼 커널 함수 $K_t(z,z)$ 는 매개변수 $t$ 에 대해 엄격한 다중하나형이다.
• 지역적으로 평탄한 정칙 피브레이션과 양의 선다발 $L$ 이 지역 평탄성 조건을 만족하는 경우, $L \otimes K_{X_t}$ 의 정칙 절단의 다발 $E$ 는 엄격한 나카노 곡률을 가진다.
• 하츠혼의 의미에서 약한 정칙 선다발 $V$ 가 주어지면, 모든 $m \geq 0$ 에 대해 $S^m(V) \otimes \det V$ 는 엄격한 나카노 곡률을 가진 헤르미트 계량을 가진다.
• $O_{\mathbb{P}(V)}(r) \otimes K_{\mathbb{P}(V^*_t)}$ 의 정칙 절단의 다발 $E(r)$ 는 $\det V$ 와 동형이며, $E(r+1)$ 는 $V \otimes \det V$ 와 동형이다.