[논문 리뷰] Curvature semipositivity of relative pluricanonical systems

Hajime Tsuji|ArXiv.org|2007. 03. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 17인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 캐논칼 특이점만을 갖는 다변량의 평탄한 프로젝티브 가속에서 $mK_{X/S}$ 상대 다중칸온선형선다발 위의 Narashimhan-Simha 특이 헤르미트 메트릭의 곡률의 준양성(-semipositivity)을 확립한다. 곡률 커텐트가 특이 섬유를 넘어 닫힌 양의 커텐트로 연장됨을 보이며, 이는 기저 다양체 위에서 직접 이미지 층 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$가 Nakano 준양성 곡률을 갖는 연속 헤르미트 메트릭을 지닌다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

We prove semipositivity of the curvature of the Narashimhan-Simha metric on an arbitrary flat projective family of varieties with only canonical singularities. This also implies that the direct image of pluricanonical systems have a natural continuous hermitian strucutre with semipositive curvature curvature current in the sense of Nakano. This is an improvement of the author's preprint ``Refined semipositivity and moduli of canonical models (2005)''.

연구 동기 및 목표

• 캐논칼 특이점이 있는 가속에서 상대 다중칸온선형다발 위의 Narashimhan-Simha 메트릭의 곡률 준양성 증명.
• 부드러운 가속에서의 준양성 결과를 캐논칼 특이점이 있는 특이 섬유를 포함한 가속으로 확장.
• 기저 위에서 Nakano 준양성 곡률 커텐트를 갖는 직접 이미지 층 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$가 연속 헤르미트 구조를 지닌다는 것을 보임.
• 상대 캐논칼 다발에 대해 준양성 곡률을 갖는 캐논칼 분석적 아르자이 디컴포지션 (AZD) 구축.
• 곡률 양성은 수직 방향(섬유 내부) 뿐 아니라 수평 방향(기저를 따라)에도 성립함을 보임

제안 방법

• 해당 가속의 부드러운 국소 $X^\circ = f^{-1}(S^\circ)$ 위에서 $mK_{X/S}$에 대해 헬름하르트 메트릭 $h_m$을 $L^2$ 노름을 이용해 구성.
• 특이 헤르미트 메트릭 이론과 Lelong 수를 적용하여 곡률 커텐트 $-dd^c \log h_m$ 분석.
• 분석적 아르자이 디컴포지션 (AZD) 구축을 통해 $K_{X/S}$ 위에 캐논칼 특이 헤르미트 메트릭 $h$를 정의하고, 이 메트릭의 곡률 커텐트가 준양성임을 보장.
• 부드러운 메트릭에 의한 근사와 함께 극한 과정을 적용하고, [B-T]의 보조정리 5.6을 활용하여 곡률 커텐트를 특이 섬유를 넘어 연장.
• L^2-메트릭의 변동에 관한 Maitani-Yamaguchi 및 Berndtsson 정리를 적용하여 기저 $S^\circ$ 위에서 곡률의 준양성 증명.
• 메트릭 $h^{m-1}$에 대한 적분을 통한 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$ 위의 유도 메트릭 $h_{F_m}$ 정의로 연속성과 준양성 확보

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐논칼 특이점이 있는 가속에서 $mK_{X/S}$ 위의 Narashimhan-Simha 메트릭 곡률이 수직 방향과 수평 방향 양쪽에서 준양성임을 보일 수 있는가?
• RQ2 Narashimhan-Simha 메트릭의 곡률 커텐트가 특이 섬유를 넘어 닫힌 양의 커텐트로 연장되는가?
• RQ3 상대 캐논칼 다발에 대해 준양성 곡률을 갖는 캐논칼 분석적 아르자이 디컴포지션 (AZD)을 구축할 수 있는가?
• RQ4 직접 이미지 층 $f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$가 기저 위에서 Nakano 준양성 곡률을 갖는 연속 헤르미트 메트릭을 지닌다 할 수 있는가?
• RQ5 준양성 결과는 특이 가속의 맥락에서 Kawamata의 대수적 준양성 정리가 어떻게 정교화되는가?

주요 결과

• Narashimhan-Simha 메트릭 $h_m$의 곡률 커텐트 $-dd^c \log h_m$은 $X^\circ$ 위에서 준양성이며, $X \setminus X^\circ$를 넘어선 닫힌 양의 커텐트로 연장된다.
• 메트릭 $h_m$은 전체 가속 $X$ 위에서 특이 헤르미트 메트릭으로 연장되며, 커텐트의 의미에서 준양성 곡률을 갖는다.
• $S^\circ$ 위에서 $K_{X/S}$에 대해 캐논칼 AZD $h$가 존재하며, 그 곡률 커텐트 $\Theta_h$는 $X$ 위에서 준양성이다.
• 직접 이미지 층 $F_m = f_*\mathcal{O}_X(mK_{X/S})$는 $h_{F_m}(\sigma,\sigma')_s = (\sqrt{-1})^{n^2} \int_{X_s} \sigma \wedge \bar\sigma' \cdot h^{m-1}$로 정의된 연속 헤르미트 메트릭 $h_{F_m}$를 지니며, $S^\circ$ 위에서 Nakano 준양성 곡률을 갖는다.
• $h^{m-1}$의 유계성 덕분에 $h_{F_m}$는 $S^\circ$ 위에서 연속이며, 기저 메트릭 $h$의 준양성에 기반하여 곡률 준양성 결과가 도출된다.
• $h_m^{1/m}$을 이용한 대안적 구성은 대수적 특이점을 갖는 메트릭을 제공하며, 향후 응용을 위한 개선된 정규성 가능성을 시사한다.