[논문 리뷰] Curvatures of direct image sheaves of vector bundles and applications I

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 11.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기본 히오지 이론을 사용하여 카일러 필베이션 위의 벡터 번들의 직접 이미지 층에 대한 명시적 곡률 공식을 유도하며, 버드센의 작업을 단순화하고 일반화한다. 주요 결과로, 가 família가 무한소적으로 자명하고 번들(_bundle_)이 기저를 따라 나카노-부정적이라면 직접 이미지가 나카노-부정적임을 보여준다; 또한 직접 이미지의 곡률이 0이면, 가 famille가 쌍 (X,E)의 헬름하르트형 자기동형사상에 의해 진화함을 의미한다.

ABSTRACT

Let $p:\sXS$ be a proper Kähler fibration and $\sE\sX$ a Hermitian holomorphic vector bundle. As motivated by the work of Berndtsson(\cite{Berndtsson09a}), by using basic Hodge theory, we derive several general curvature formulas for the direct image $p_*(K_{\sX/S} s \sE)$ for general Hermitian holomorphic vector bundle $\sE$ in a simple way. A straightforward application is that, if the family $\sXS$ is infinitesimally trivial and Hermitian vector bundle $\sE$ is Nakano-negative along the base $S$, then the direct image $p_*(K_{\sX/S} s \sE)$ is Nakano-negative. We also use these curvature formulas to study the moduli space of projectively flat vector bundles with positive first Chern classes and obtain that, if the Chern curvature of direct image $p_*(K_{X} s E)$--of a positive projectively flat family $(E,h(t))_{t\in \mathbb D}X$--vanishes, then the curvature forms of this family are connected by holomorphic automorphisms of the pair $(X,E)$.

연구 동기 및 목표

• 베르드센의 직선 번들의 직접 이미지 곡률 공식을 일반 헬름홀로닉 벡터 번들로 일반화하기.
• 복소해석 기법 대신 기본 히오지 이론을 사용하여 곡률 공식 유도를 단순화하기.
• 필베이션과 번들의 기하학적 가정 하에 직접 이미지 층의 양성 및 부정성 성질 연구하기.
• 직접 이미지 곡률의 분해를 통해 프로젝티브 평탄한 번들의 모듈리 공간 분석하기.
• 직접 이미지 곡률이 0일 때, 쌍 (X,E)의 헬름하르트형 자기동형사상 존재와의 연결 고리 확립하기.

제안 방법

• 각 섬유에서 히오지 이론을 사용하여 $\nabla^{\text{'}\prime}u = dt^i \wedge \nu_i$ 및 $\nabla^{\prime\prime}u = dt^j \wedge \eta_j$ 로 분해한다. 여기서 $u$ 는 $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ 의 국소 헬름홀로닉 섹션이다.
• $v_i = -\nabla_X^{\prime} \mathbb{G}^{\prime} \pi_\perp(\nu_i)$ 를 정의한다. 여기서 $\mathbb{G}^{\prime}$ 는 그린 연산자이고 $\pi_\perp$ 는 조화형식의 직교보완에 대한 투영이다.
• 곡률 공식 유도: $(\sqrt{-1}\Theta^E u, u) = c_n \int_{X_s} \sqrt{-1}\{\Theta^\mathcal{E}u,u\} - (\Delta_X^{\prime}v_i, v_j) \cdot (\sqrt{-1}dt^i \wedge d\bar{t}^j) + (\eta_i, \eta_j) \cdot (\sqrt{-1}dt^i \wedge d\bar{t}^j)$.
• 관계 $i_{W_i}u = -v_i$ 를 사용한다. 여기서 $W_i$ 는 코다이라-스펜서 클래스 $\alpha_i$ 의 쌍대 벡터장이다. 이는 곡률과 변형 이론을 연결한다.
• $\mathcal{E}_s$ 가 프로젝티브 평탄하다고 가정하고, 배경 카일러 메트릭으로 $\omega_g = \frac{1}{r} \text{Ric}(\det \mathcal{E}_s)$ 를 섬유 위에 정의한다.
• 곡률이 0일 때 $\frac{\partial v_i}{\partial \bar{t}^j} = 0$ 이 되며, 이는 메트릭을 보존하는 헬름홀로닉 벡터장 $V_i = \frac{\partial}{\partial t^i} - W_i$ 의 존재를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직접 이미지 층 $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ 가 언제 나카노-부정적일까?
• RQ2 직접 이미지 층의 곡률은 필베이션과 번들의 변형 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 직접 이미지 곡률이 0이 되면 어떤 기하학적 결과가 발생하는가?
• RQ4 직접 이미지 곡률이 0이라면, 프로젝티브 평탄한 번들 가족이 헬름홀로닉 자기동형사상으로 연결될 수 있는가?
• RQ5 코다이라-스펜서 클래스와 쌍대 벡터장 $W_i$ 는 곡률 공식과 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 직접 이미지 층 $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ 의 곡률은 번들 곡률, $v_i$ 의 $L^2$ 노름, $\eta_i$ 를 포함하는 음성 형태로 주어지며, 히오지 이론을 통해 도출된다.
• 필베이션이 무한소적으로 자명하고 $\mathcal{E}$ 가 기저를 따라 나카노-부정적이라면, $p_*(K_{\mathcal{X}/S} \otimes \mathcal{E})$ 는 나카노-부정적이다.
• $\mathcal{E}_s$ 가 프로젝티브 평탄하고 $\det \mathcal{E}_s$ 가 양일 경우, 곡률 텐서는 $\sqrt{-1}\Theta^{\mathcal{E}_s} = \omega_g \otimes h^{\mathcal{E}_s}$ 를 만족한다.
• 관계 $i_{W_i}u = -v_i$ 가 성립하며, 여기서 $W_i$ 는 코다이라-스펜서 클래스 $\alpha_i$ 의 쌍대 벡터장이다. 이는 곡률과 변형 기하학을 연결한다.
• 곡률이 0일 때 $\frac{\partial v_i}{\partial \bar{t}^j} = 0$ 이 되며, 이에 따라 벡터장 $V_i = \frac{\partial}{\partial t^i} - W_i$ 는 헬름홀로닉이면서 메트릭을 보존한다.
• $\Theta^E \equiv 0$ 이 $\mathbb{D}$ 의 0 근방에서 성립한다면, $X$ 위에 헬름홀로닉 벡터장 $V$ 가 존재하여 그 흐름 $\Phi_t \in \text{Aut}_H(X, \mathbb{E}_0)$ 를 이루며, $\Phi_t^*\omega_t = \omega_0$ 를 만족한다.