[논문 리뷰] Curvatures of weighted metrics on tangent sphere bundles

Rui Albuquerque|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 26.

Advanced Differential Geometry Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만다양체 $M$의 접선 구_bundle $S_rM$ 위에 정의된 가중 측도에 대한 곡률 공식을 유도하며, 사사키 측도를 일반화한다. 유계 섹션 곡률을 가진 임의의 $M$과 고정된 반경 $r$에 대해, 수평 측도 계수 $f_1$가 충분히 크거나 수직 계수 $f_2$가 충분히 작을 경우 $S_rM$에서 양의 스칼라 곡률이 달성됨을 증명하며, 이는 이전의 접선 구_bundle에 대한 스칼라 곡률 양성 결과를 더 넓은 범위의 가중 측도로 확장한다.

ABSTRACT

We determine the curvature equations of natural metrics on tangent bundles and radius r tangent sphere bundles S_rM of a Riemannian manifold M. A family of positive scalar curvature metrics on S_rM is found, for any M with bounded sectional curvature and any chosen constant r.

연구 동기 및 목표

• 접선 다발과 반경-$r$ 접선 구_bundle $S_rM$에 대한 자연적 측도에 대한 곡률 공식을 일반화한다.
• $S_rM$가 양의 스칼라 곡률 측도를 갖는 조건을 조사한다.
• 기존의 접선 구_bundle에 대한 스칼라 곡률 양성 결과를 더 넓은 범위의 가중 측도로 확장한다.
• 4-다양체에 대해 $S_1M$ 위의 gwistor 다발의 호로노미와 기하학을 이해하기 위한 기초 곡률 계산을 제공한다.

제안 방법

• 다양체 $M$ 위의 함수 $\varphi_1, \varphi_2$에 대해 $f_1 = e^{2\varphi_1}$, $f_2 = e^{2\varphi_2}$로 정의된 가중 측도 $g^{f_1,f_2} = f_1 \pi^*g \oplus f_2 \pi^*g$를 $TM$에 적용한다.
• 곡률 항 $A$, $B$, 및 $\nabla^*_{X}Y^v$를 포함한 수정된 접속 $\nabla^G$를 통해 가중 측도의 리만-레비치비타 접속을 적용한다.
• 곡률의 관계를 $TM$의 곡률과 $S_rM$의 곡률 간에 연결하기 위해 가우스 공식을 사용하며, 법선 곡률은 제2 기본형식을 통해 고려한다.
• 환경 곡률과 유도된 측도 구조를 이용해 $S_rM$의 리치 및 스칼라 곡률에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 곡률 성분을 계산하기 위해 텐서 $\mathcal{R}^\xi(X,Y) = \pi^*R^\nabla(X,Y)\xi$ 및 그 공변도를 활용한다.
• 가우스 방정식을 적용하여 $S_rM$의 리치 및 스칼라 곡률와 환경 측도 $g^{f_1,f_2}$ 간의 차이를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도 계수 $f_1$와 $f_2$에 대해 어떤 조건에서 접선 구_bundle $S_rM$가 양의 스칼라 곡률 측도를 갖는가?
• RQ2 TM 위의 가중 측도에 대한 곡률 공식이 $S_rM$의 부분다양체로 어떻게 일반화되는가?
• RQ3 유계 섹션 곡률을 가진 임의의 리만다양체 $M$에 대해, $S_rM$의 스칼라 곡률를 항상 양수로 만들 수 있는가?
• RQ4 $\varphi_2$ 함수는 $S_rM$의 스칼라 곡률를 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $S_rM$의 곡률은 반경 $r$과 가중 측도의 선택에 따라 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 유계 섹션 곡률을 가진 임의의 리만다양체 $M$과 고정된 반경 $r$에 대해, $f_1$가 충분히 크거나 $f_2$가 충분히 작을 경우 $S_rM$는 양의 스칼라 곡률 측도를 갖는다.
• $S_rM$의 스칼라 곡률는 $\tilde{S}^G = S^G + \frac{(n-1)n}{f_2 r^2}$로 주어지며, 여기서 $S^G$는 $TM$ 위의 환경 측도의 스칼라 곡률이고, $n = \dim M - 1$이다.
• $S_rM$의 리치 곡률는 $\tilde{\mathrm{ric}}^G = \mathrm{ric}^G + \frac{n-1}{r^2}g|_{V \otimes V}$를 만족하며, 이는 구형 섬유에서 기인하는 보정 항을 보여준다.
• 표면의 경우 ($\dim M = 2$), $TM$과 $S_rM$의 리치 및 스칼라 곡률는 가중 측도 하에서 일치한다.
• $f_1$가 상수이고 $f_2 = e^{2\varphi_2}$일 경우, 곡률 공식은 $\varphi_2$의 공변도와 $M$의 곡률 텐서에 의존한다.
• 이 결과는 [6]의 정리 1.2를 일반화하며, 작은 $r$에 대해 양의 스칼라 곡률를 확인하고, 더 넓은 범위의 가중 측도로 확장한다.