[논문 리뷰] Curved A-infinity algebras and Landau-Ginzburg models

Andrei Căldăraru, Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 15.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 랜드อู-긴즈부르크 모델에서 유래하는 곡선 A-무한대 대수를 위한 수정된 호크시ลด 호모로지 및 코호모로지 이론—보렐-무어 호크시ลด 호모로지와 컴acts에 의한 지지된 호크시ลด 코호모로지—를 도입한다. 이 불변량들이 자코비안 링과 그 쌍대를 복원하며 물리학적 예측과 일치하고, 올로프의 CY/LG 대응에 기반하는 dg 수준의 동치를 확립한다.

ABSTRACT

We study the Hochschild homology and cohomology of curved A-infinity algebras that arise in the study of Landau-Ginzburg (LG) models in physics. We show that the ordinary Hochschild homology and cohomology of these algebras vanish. To correct this we introduce modified versions of these theories, Borel-Moore Hochschild homology and compactly supported Hochschild cohomology. For LG models the new invariants yield the answer predicted by physics, shifts of the Jacobian ring. We also study the relationship between graded LG models and the geometry of hypersurfaces. We prove that Orlov's derived equivalence descends from an equivalence at the differential graded level, so in particular the CY/LG correspondence is a dg equivalence. This leads us to study the equivariant Hochschild homology of orbifold LG models. The results we get can be seen as noncommutative analogues of the Lefschetz hyperplane and Griffiths transversality theorems.

연구 동기 및 목표

• 랜드오우-긴즈부르크 모델에서 유래하는 곡선 A-무한대 대수에서 일반 호크시ลด 호모로지 및 코호모로지가 의미 있는 불변량을 탐지하지 못하는 데서 기인하는 실패를 해결하기 위해.
• 이러한 대수에 대해 비자명하고 물리적으로 의미 있는 새로운 불변량—보렐-무어 호크시ลด 호모로지 및 컴팩트에 의해 지지된 호크시ลด 코호모로지—를 정의하기 위해.
• 이러한 새로운 불변량이 행렬 분해의 맥락에서 자코비안 링과 그 쌍대를 계산함을 증명하기 위해.
• 올로프의 칼라비-양 대상과 랜드오우-긴즈부르크 카테고리 사이의 유도 동치가 미분가법 수준에서 준동치로 올라간다는 것을 증명하기 위해.
• 등변 호크시ลด 호모로지 이론을 적용하여 오비폴드 LG 모델로 이러한 결과를 확장하고, 고전적 대수기하학 정리의 비가환 수학적 해석을 도출하기 위해.

제안 방법

• 보통의 직접 합 대신 직접 곱을 사용하여 호크시ลด 체인의 변형으로 보렐-무어 호크시ลด 호모로지를 도입한다.
• 직접 곱 대신 직접 합을 사용하여 코chains를 정의함으로써 컴팩트에 의해 지지된 호크시ลด 코호모로지를 정의하여 곡선 대수와의 호환성을 확보한다.
• 곡선 A-무한대 대수 A의 컴팩트 유형 불변량이 Tw(A)인 난이도 복합체 카테고리의 것과 일치함을 증명하여 계산을 단순화한다.
• 세갈의 추론을 사용하여 Tw(B_W)의 컴팩트 유형 불변량이 B_W의 것과 동형임을 보이고, 곡선 대수를 통한 계산을 가능하게 한다.
• 행렬 분해의 유도 범주와 전삼각 범주의 dg 몫 사이의 dg 수준 동치를 확립하여 올로프의 유도 동치를 일반화한다.
• 등변 호크시ลด 호모로지 이론을 적용하여 오비폴드 LG 모델에 대해 분석함으로써, 레프셰츠 초평면 정리와 그리피스 전이성 정리의 비가환 수학적 해석을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 랜드오우-긴즈부르크 모델에서 곡선 A-무한대 대수에 대해 표준 호크시ลด 호모로지 및 코호모로지가 모두 0이 되는가?
• RQ2 물리적 모델에서 자코비안 링과 그 쌍대를 복원할 수 있도록 수정된 호크시ลด 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ3 올로프의 칼라비-양 대상과 랜드오우-긴즈부르크 범주 사이의 유도 동치가 미분가법 수준에서 준동치로 올라갈 수 있는가?
• RQ4 dg 몫과 반직선 분해는 행렬 분해 범주의 구조를 이해하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 오비폴드 LG 모델의 등변 호크시ลด 호모로지는 고전적 대수기하학 정리의 비가환 수학적 해석을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 곡선 A-무한대 대수의 일반 호크시ลด 호모로지 및 코호모로지는 동일하게 0이 되며, 이는 물리적 모델에 대해 효과적이지 않다.
• 보렐-무어 호크시ลด 호모로지 및 컴팩트에 의해 지지된 호크시ลด 코호모로지는 비자명한 불변량을 제공한다: $ H\text{H}^{\text{BM}}_*(B_W) = ω(W)[n] $ 와 $ H\text{H}^*_c(B_W) = \text{Jac}(W)[0] $, 이는 물리학적 예측과 일치한다.
• 행렬 분해의 카테고리인 $ \text{Tw}(B_W) $의 컴팩트 유형 불변량은 $ B_W $의 것과 동형이며, 이는 곡선 대수를 통한 계산을 가능하게 한다.
• 행렬 분해의 유도 범주와 초곡면의 유도 범주 사이의 올로프의 유도 동치는 dg 범주의 준동치로 올라간다.
• 오비폴드 LG 모델의 등변 호크시ลด 호모로지는 레프셰츠 초평면 정리와 그리피스 전이성 정리의 비가환 수학적 해석을 도출한다.
• $ \mathscr{D}/\mathscr{E} $의 dg 몫 구조는 $ \mathscr{E} $가 적절할 경우 오른쪽 수직보완 $ \mathscr{E}^\perp $과 준동치이며, 이는 고전적 삼각형 범주 결과를 dg 설정으로 일반화한다.