[논문 리뷰] Curves of genus 2 with sqrt2 multiplication

Peter R. Bending|ArXiv.org|1999. 11. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 √2에 대한 실 multiplication을 가지며 로사티 호환사상에 대해 고정된 아벨 다양체의 유니버설 가속도를 구성한다. 이러한 아벨 다양체의 준동형 사이의 이소지 관계를 수립하고 헤사티온 대수와의 연결 고리를 탐색하며, 수체 위의 아벨 다양체의 맥락에서 명시적 구성과 구조적 결과를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we give a universal family of curves of genus 2 whose jacobians have $\sqrt2$ multiplication fixed by the Rosati involution, and several results based on it, including isogenies between jacobians of curves, and jacobians of curves with quaternionic multiplication.

연구 동기 및 목표

• 종수 2 곡선의 유니버설 가속도를 구성하여 그 준동형이 √2에 의한 실 multiplication을 갖도록 한다.
• 이러한 준동형 대수의 엔도모르피즘 대수에 대한 로사티 호환사상의 작용을 분석한다.
• 이러한 곡선의 준동형 사이의 이소지 관계를 수립한다.
• √2 곱셈을 갖는 곡선과 헤사티온 곱셈을 갖는 곡선 간의 연결 고리를 탐색한다.
• 수체 위의 아벨 다양체의 프레임워크 내에서 명시적 대수적 및 기하학적 구성 방법을 제공한다.

제안 방법

• 지정된 엔도모르피즘 대수를 갖는 함수체 위에서 종수 2 곡선의 일파라미터 가속도를 구성한다.
• 편평한 아벨 다양체 이론과 로사티 호환사상을 사용하여 √2 가 엔도모르피즘 링에 작용하도록 고정한다.
• 모듈리 이론적 기법을 활용하여 √2 곱셈을 갖는 곡선을 매개변수화한다.
• 네론-테이트 높이와 편평한 유형을 분석하여 실 곱셈의 존재를 확인한다.
• 이소지 이론을 적용하여 √2 곱셈을 갖는 곡선의 준동형을 헤사티온 곱셈을 갖는 것들과 연결한다.
• 대수적 수론을 활용하여 엔도모르피즘 링의 구조와 그 편평함과의 호환성을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 2 곡선의 준동형 대수의 엔도모르피즘 대수의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 √2 곱셈의 경우 로사티 호환사상은 엔도모르피즘 대수에 어떻게 작용하는가?
• RQ3 종수 2 곡선의 준동형 사이에 명시적인 이소지를 구성할 수 있는가?
• RQ4 준동형이 √2 곱셈을 갖는 경우, 추가로 헤사티온 곱셈을 갖도록 하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 √2 곱셈을 갖는 종수 2 곡선의 모듈리 공간은 무엇이며, 어떻게 매개변수화되는가?

주요 결과

• 함수체 위에서 √2 곱셈을 갖는 종수 2 곡선의 유니버설 가속도가 명시적으로 구성되었다.
• 이 곡선의 준동형은 Z[√2]를 포함하는 엔도모르피즘 링을 갖으며, 로사티 호환사상은 √2를 고정한다.
• 이러한 곡선의 준동형 사이에 이소지 관계가 수립되어 아벨 다양체의 범주에서의 상호관계를 보여준다.
• 논문은 이러한 준동형이 추가로 헤사티온 곱셈을 갖는 조건을 규명하여 두 중요한 아벨 다양체 유형 간의 연결 고리를 제공한다.
• 구성은 호환되는 편평함과 모듈리 구조를 갖는 종수 2에서 실 곱셈의 구체적 예를 제공한다.
• 결과는 특히 종수 2 곡선의 맥락에서 수체 위의 실 곱셈을 갖는 아벨 다양체의 분류에 기여한다.