[논문 리뷰] Cuspidal irreducible representations of quaternionic forms of p-adic classical groups for odd p

Daniel Skodlerack|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 24인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 홀수 p에 대해 허문형 p진 고전군의 모든 임의의 불가약한 복소수 표현을 분류한다. 고전적 p진 군의 분류를 확장하여, 모든 이러한 표현이 어떤 쿠스피드 타입에서 유도된다는 것을 보이며, 이 쿠스피드 타입은 베타 확장과 유한군의 쿠스피드 표현으로 구성된다. 또한 상호작용하는 타입들이 군 작용에 의해 쌍대화된다는 것을 보인다.

ABSTRACT

Given a quaternionic form G of a p-adic classical group ($p$ odd) we classify all cuspidal irreducible complex representations of G. It is a straight forward generalization of the classification in the p-adic classical group case. We prove two theorems: At first: Every irreducible cuspidal representation of G is induced from a cuspidal type, i.e. from a certain irreducible representation of a compact open subgroup of G, constructed from a beta-extension and a cuspidal representation of a finite group. Secondly we show that two intertwining cuspidal types of G are up to equivalence conjugate under some element of G.

연구 동기 및 목표

• 홀수 p일 때 p진 고전군에서의 쿠스피드 불가약 표현의 분류를 그 허문형으로 확장하는 것.
• 허문형에서의 모든 불가약한 쿠스피드 표현이 쿠스피드 타입에서 유도된다는 것을 확립하는 것.
• 이러한 군에 대해 상호작용하는 두 쿠스피드 타입이 군 G의 원소에 의해 쌍대화된다는 것을 증명하는 것.
• 쿠스피드 타입 이론과 베타 확장을 고전군의 허문형 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 허문형 G의 컴팩트 열린 부분군의 불가약한 표현으로서 쿠스피드 타입을 구성하는 것.
• 유한 단순 몫군에서 표현을 올리기 위해 베타 확장을 사용하는 것.
• 베타 확장을 비유한 유한군의 쿠스피드 표현과 조합하여 전체 쿠스피드 타입을 형성하는 것.
• 이러한 쿠스피드 타입에서 유도를 적용하여 G의 불가약한 쿠스피드 표현을 구성하는 것.
• 군론적 추론을 사용하여 G 내부에서 상호작용하는 쿠스피드 타입이 쌍대화됨을 보이는 것.
• p진 고전군과 그 허문형의 구조를 활용하여 기존 고전적 경우의 결과를 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 p에 대해 p진 고전군에서의 쿠스피드 불가약 표현 분류를 그 허문형으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 허문형 p진 고전군의 맥락에서 쿠스피드 타입의 정확한 구성은 무엇인가?
• RQ3 이러한 군에 대해 두 상호작용 쿠스피드 타입이 군 G 내부에서 언제 쌍대화되는가?
• RQ4 베타 확장과 유한군의 쿠스피드 표현은 어떻게 조합되어 쿠스피드 타입의 완전한 매개변수화를 형성하는가?

주요 결과

• 홀수 p에 대해 p진 고전군의 허문형 G에 대한 모든 불가약한 쿠스피드 표현은 쿠스피드 타입에서 유도된다.
• 쿠스피드 타입은 G의 컴팩트 열린 부분군의 표현으로서 구성되며, 베타 확장과 유한군의 쿠스피드 표현을 조합한다.
• 서로 상호작용하는 두 쿠스피드 타입은 G의 어떤 원소에 의해 쌍대화되며, 이는 쌍대화에 의한 유일성을 보장한다.
• 허문형에 대한 쿠스피드 표현의 분류는 기존의 고전적 p진 군의 경우의 분류를 일반화한다.
• 군의 구조와 그 컴팩트 열린 부분군은 베타 확장과 유한군 표현을 통해 일관된 타입 처리를 가능하게 한다.
• 결과적으로 쿠스피드 불가약 표현의 완전한 매개변수화가 타입을 통해 확립되었으며, 이는 비분할 형식으로 이론을 확장한다.