[논문 리뷰] Cuspidal representations in the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink space for GSp(4)

Tetsushi Ito, Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 31.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 GSp(4)에 대한 Rapoport-Zink 타워의 $\ell$-adic 코호몰로지가 코호몰로지 차수 $i \neq 2,3,4$일 때, 준-쿠스피달 부분몫을 포함하지 않음을 증명한다. 이는 형식적 인접 사이클과 특수 섹션 위의 $J(\mathbb{Q}_p)$--equivariant 구조를 포함하는 순수 국소적, 층 이론적 접근을 통해 이루어지며, GSp(4)에 대한 국소 Langlands 상호작용에 핵심적인 제약 조건을 설정한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower for GSp(4). We prove that the smooth representation of GSp_4(Q_p) obtained as the i-th compactly supported l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower has no quasi-cuspidal subquotient unless i=2,3,4. Our proof is purely local and does not require global automorphic methods.

연구 동기 및 목표

• GSp(4)에 대한 Rapoport-Zink 타워의 $\ell$-adic 코호몰로지에서 준-쿠스피달 표현을 포함하는 코호몰로지 차수를 규명하는 것.
• GSp_4(Q_p)의 매끄러운 표현에서 $H^i_{\mathrm{RZ}}$에 대해 $i \neq 2,3,4$일 때 준-쿠스피달 부분몫이 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 전체 자동형 형태 기법을 피하고, 형식 모델의 특수 섹션 위의 층 이론적 구성에 의존하는 순수 국소적 방법을 개발하는 것.
• 형식적 인접 사이클의 변종을 통해 특수 섹션 위의 국소 코호몰로지 복합체에 $J(\mathbb{Q}_p)$-작용을 도입하여 표현론적 구조를 제어할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• GSp_4(Z/p^mZ)의 갈루아 작용을 갖는 리지드 애널리틱 공간의 타워로 GSp(4)에 대한 Rapoport-Zink 타워를 구성하고, 컴acts지지된 $\ell$-adic 코호몰로지의 귀납적 극한을 취한다.
• 직접 합성분 $I \subset (\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z})^4$에 따라 인덱싱된 특수 섹션 $(\breve{\mathscr{M}}_m)_{\mathrm{red}}$ 위의 층 복합체 $\mathcal{F}_{m,I}$를 정의하며, 고리의 부분공간에 沿한 국소 코호몰로지를 대체한다.
• Rapoport-Zink의 $p$-진 균일화 정리를 사용하여 특수 섹션의 기하학을 타워의 코호몰로지와 연결한다.
• Miehe의 [Mie10b]에서 유래한 형식적 인접 사이클의 변종을 도입하여, $J(\mathbb{Q}_p)$가 균일화 시무라 다양체 위에 작용하지는 않지만 $\mathcal{F}_{m,I}$의 코호몰로지에 $J(\mathbb{Q}_p)$-작용을 도입한다.
• 유한 생성된 프로-$p$ 군의 성질을 적용하여 $J(\mathbb{Q}_p)$-작용이 코호몰로지 위에서 매끄럽다는 것을 보장한다.
• 코호몰로지 대응과 $R\Gamma_c(i_*j_*j^!R\psi)$의 함자성에 의해, 동일한 일반 섹션을 갖는 서로 다른 대응에 의해 유도된 사상들을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GSp(4)에 대한 Rapoport-Zink 타워의 $\ell$-adic 코호몰로지에서 어느 코호몰로지 차수 $i$가 GSp_4(Q_p)-표현의 준-쿠스피달 부분몫을 지지하는가?
• RQ2 전체 자동형 형태 입력 없이 순수 국소적 방법으로 $H^i_{\mathrm{RZ}}$에 준-쿠스피달 부분몫이 존재하지 않음을 증명할 수 있는가?
• RQ3 전체 작용이 없음에도 불구하고 특수 섹션의 코호몰로지에 $J(\mathbb{Q}_p)$-작용을 효과적으로 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ4 Lubin-Tate 경우에 사용된 인접 사이클 복합체의 국소 코호몰로지에 대한 대체로 특수 섹션 위의 어떤 층 이론적 구성이 작동하는가?
• RQ5 특수 섹션 내의 코호몰로지 대응은 코호몰로지의 표현론적 구조를 어느 정도 제어하는가?

주요 결과

• 주요 정리(정리 3.2)에 의해, $\mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_p)$의 매끄러운 표현 $H^i_{\mathrm{RZ}} \otimes_{\mathbb{Q}_\ell} \overline{\mathbb{Q}}_\ell$은 $i = 2,3,4$일 때를 제외하고는 준-쿠스피달 부분몫을 포함하지 않는다.
• Rapoport-Zink 공간 $\breve{\mathscr{M}}^\mathrm{rig}_m$가 모든 $m \geq 0$에 대해 3차원이므로, $i < 0$ 또는 $i > 6$일 때 $H^i_{\mathrm{RZ}}$는 0이 된다.
• 증명은 전적으로 국소적이며, 이전의 접근과 달리 전체 자동형 형태나 추적 공식을 사용하지 않는다.
• 특수 섹션 위의 층 복합체 $\mathcal{F}_{m,I}$의 구성은 타워가 애매하지 않더라도 고리의 부분공간에 대한 국소 코호몰로지의 대체로 작용한다.
• $J(\mathbb{Q}_p)$-작용은 형식적 인접 사이클의 변종을 통해 실현되며, 유한 생성된 프로-$p$ 군의 성질을 통해 매끄러움이 보장된다.
• 코호몰로지 대응은 $R\Gamma_c(i_*j_*j^!R\psi)$ 위에 사상들을 유도하며, 이들은 함자성과 합성과 호환되어 서로 다른 기하적 실현 간의 비교를 가능하게 한다.