[논문 리뷰] Customer Equilibrium and Optimal Strategies in an M/M/1 Queue with Dynamic Service Control

Yiannis Dimitrakopoulos, Apostolos Burnetas|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 06.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 혼잡도가 임계값을 초과할 경우 서비스 속도가 증가하는 동적 서비스 제어를 갖는 관측 불가능한 M/M/1 큐에서 고객의 균형 전략을 연구한다. 양의 외부성과 음의 외부성이 혼재되어 다수의 균형이 존재할 수 있음을 보이며, 사회적으로 최적의 도착률이 항상 어떤 균형 도착률보다 작거나 같음을 증명한다. 파rameter 변화에 따라 최대 세 개의 균형이 가능하다.

ABSTRACT

We consider the problem of customer equilibrium strategies in an M/M/1 queue under dynamic service control. The service rate switches between a low and a high value depending on system congestion. Arriving customers do not observe the system state at the moment of arrival. We show that due to service rate variation, the customer equilibrium strategy is not generally unique, and derive an upper bound on the number of possible equilibria. For the problem of social welfare optimization, we numerically analyze the relationship between the optimal arrival rate, which maximizes the overall welfare of the customers, and the equilibrium ones as a function of various parameter values. We finally derive analytic solutions for the special case where the service rate switch occurs when the queue ceases to be empty.

연구 동기 및 목표

• 고객이 시스템 상태를 도착 시 관측하지 못하지만 서비스 정책을 알고 있는 부분 정보 하에서, 혼잡도에 따라 저속도와 고속도로 전환되는 M/M/1 큐에서 고객 균형 전략을 분석한다.
• 동적 서비스 제어가 고객 균형의 존재성과 유일성에 미치는 영향을 조사한다.
• 동일한 정책 하에서 이타적 고객 행동에 의해 유도되는 균형 도착률과 사회적으로 최적의 도착률을 비교한다.
• 양의 또는 음의 외부성이 지배하여 '다수의 흐름을 따라가기' 또는 '다수의 흐름을 피하기' 행동이 발생하는 조건을 규명한다.

제안 방법

• 혼잡도가 임계값 T 이하일 경우 저속도, 초과 시 고속도로 전환되는 임계값 기반 서비스 속도 정책을 갖는 M/M/1 큐를 모델링한다.
• 고객이 도착 시 시스템 상태를 관측하지 못하지만 정책을 알고 있으므로, 관측 불가능한 균형 분석을 수행한다.
• 도착률 λ에 대한 기대 대기 시간과 사회적 복지 함수를 두 가지 서비스 속도 동역학을 통합하여 유도한다.
• 확률적 과정 분석과 균형 특성 분석을 통해 다수의 균형이 존재할 조건을 규명하며, 최대 세 개의 균형이 가능하다.
• 수치적 분석과 해석적 증명을 통해 다양한 파rameter 영역에서 최적 도착률과 균형 도착률을 비교한다.
• 사회적 복지 함수가 특정 영역에서 엄격하게 오목함을 증명하여 최적 전략과 균형 전략의 유일성 및 비교가 가능함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동적 서비스 제어 정책이 관측 불가능한 M/M/1 큐에서 다수의 고객 균형을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 서비스 속도가 혼잡도에 따라 달라질 경우, 양의 외부성과 음의 외부성이 고객의 입대 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 사회적으로 최적의 도착률과 이타적 고객 행동에 의해 발생하는 균형 도착률 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 사회적으로 최적의 도착률 λ*가 항상 모든 균형 도착률 λᵉ보다 작거나 같은가? 이러한 조건은 어떤 파rameter 조건에서 성립하는가?

주요 결과

• 고객 균형 전략은 일반적으로 유일하지 않으며, 양의 외부성과 음의 외부성이 상호작용하여 최대 세 개의 서로 다른 균형이 존재할 수 있다.
• 저속도 서비스 속도 μₗ > 1/2일 경우, 사회적 복지 함수는 엄격하게 오목하므로 유일한 최적 도착률 λ*가 존재한다.
• μₗ ≤ 1/R 일 경우 유일한 균형은 λᵉ = 0이며, 최적 도착률 λ* 역시 0이므로 λ* ≤ λᵉ는 자명하게 성립한다.
• μₗ < 1/2 인 경우, 특히 μₗ = 1 - R/4일 경우 사회적 복지 함수는 (λ₀ᵉ, 1)에서 감소하고 오목하므로 λ* ≤ λ₀ᵉ가 성립한다.
• 1 - R/4 < μₗ < 1/2 일 경우 사회적 복지 함수는 (λ₁ᵉ, 1)에서 여전히 감소하고 오목하므로 안정적인 양의 균형에 대해 λ* ≤ λ₁ᵉ가 성립한다.
• 모든 파rameter 영역에서 사회적으로 최적의 도착률 λ*는 어떤 양의 균형 도착률 λᵉ보다 작거나 같으며, 이는 이타적 행동이 사회적 최적보다 과도하게 입대를 유도함을 시사한다.