[논문 리뷰] Cut-off phenomenon for Ornstein-Uhlenbeck processes driven by Lévy processes

Gerardo Barrera, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 36인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 총변동 거리 하에서 레비 과정에 의해 구동되는 d차원 오르누스타인-울렌벡 과정에 대해 컷오프 현상이 존재함을 증명한다. 유한한 로그모멘트와 레비 과정의 정규성 조건을 포함한 조건들 하에서, 가역 케이스에서는 프로파일 함수가 존재함을 증명하고, 비가역 케이스에서는 그 존재를 위한 조건을 제시하며, 브라운 운동 케이스의 결과를 복잡한 점프 구조를 가진 점프-확산 과정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the cut-off phenomenon under the total variation distance of d-dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes which are driven by Lévy processes. That is to say, under the total variation distance, there is an abrupt convergence of the aforementioned process to its equilibrium, i.e. limiting distribution. Despite that the limiting distribution is not explicit, its distributional properties allow us to deduce that a profile function always exists in the reversible cases and it may exist in the non-reversible cases under suitable conditions on the limiting distribution. The cut-off phenomena for the average and superposition processes are also determined.

연구 동기 및 목표

• 레비 과정에 의해 구동되는 d차원 오르누스타인-울렌벡 과정에서의 컷오프 현상을 조사한다.
• 총변동 거리 하에서 컷오프 현상이 발생하는 조건을 규명한다.
• 가역 케이스에서 프로파일 함수의 존재를 확립하고, 비가역 케이스에서 그 존재를 위한 충분조건을 제시한다.
• 이러한 OUL 과정의 초합 및 평균 과정에 대한 컷오프 행동을 분석한다.
• 기존의 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE에 대한 결과를 레비 과정에 의해 구동되는 SDE로 확장한다.

제안 방법

• t > 0에서 dX(ε)t = −QX(ε)t dt + √ε dξt를 분석하며, X(ε)0 = x0 ∈ Rd \ {0}이다. 여기서 ξ는 d차원 레비 과정이다.
• 레비 과정에 대해 유한한 로그모멘트와 정규성 조건을 부과하여 수렴성과 컷오프 행동을 보장한다.
• 선형화 기법과 레비 노이즈에 적합한 커플링 방법을 사용하며, 가우시안 구조가 없어 브라운 운동 접근과 다름을 고려한다.
• 총변동 거리의 법칙을 비교하기 위해 변수변환과 콘볼루션 부등식을 적용한다.
• 총변동 거리의 명시적 계산 없이도 프로파일 컷오프를 증명하기 위해 '불변성 유사 조건'을 도입한다.
• 초합 및 평균 과정을 연구하며, 자가분해 가능 분포를 통해 초합 과정에 대해 프로파일 컷오프를 증명하고, 안정성 가정 하에서 평균 과정에 대해 프로파일 컷오프를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 과정에 의해 구동되는 오르누스타인-울렌벡 과정에서 총변동 거리 하에서 컷오프 현상이 발생하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 가역 및 비가역 케이스에서 컷오프 현상의 프로파일 함수가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 레비 점프의 추가가 브라운 운동 케이스와 비교해 컷오프 행동에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 OUL 과정의 초합 및 평균 과정에 대해 프로파일 컷오프를 확립할 수 있는가?
• RQ5 한계 분포의 대칭성과 자가분해 가능성은 프로파일 컷오프에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 레비 과정이 유한한 로그모멘트를 가지며 정규성 조건을 만족할 경우, 총변동 거리 하에서 레비 과정에 의해 구동되는 OUL 과정에서 컷오프 현상이 발생한다.
• 가역 케이스에서는 프로파일 함수가 존재하며, 비가역 케이스에서는 한계 분포에 대한 불변성 유사 조건이 만족될 경우 그 존재가 가능하다.
• 대칭적인 일변량 한계 분포의 경우, 프로파일 컷오프 조건이 완전히 충족된다.
• 초합 과정에 대해 프로파일 컷오프가 확립되었으며, 프로파일 함수는 자가분해 가능 분포와 연결된다.
• 안정 레비 노이즈 하에서 평균 과정에 대해 프로파일 컷오프가 증명되었으며, 명시적인 프로파일 함수, 컷오프 시간, 윈도우가 제공된다.
• 결과는 브라운 운동을 초월해 레비 과정에 의해 구동되는 SDE에 대한 컷오프 이론을 확장하며, 점프 성분이 수렴 역학에 미치는 영향을 부각시킨다.