[논문 리뷰] Cutoff for Random Walks on Upper Triangular Matrices

Jonathan Hermon, Sam Olesker-Taylor|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 07.

Graph theory and applications참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고정된 d 또는 p에 대해 느리게 증가하는 d를 갖는 Z_p 상의 상삼각행렬의 무작위 카일리 그래프 U_{p,d}와 Z_p 상의 d차원 히젠베르그 군에 대해 단순 무작위 보행의 커프트를 확립한다. 군의 구조와 엔트로피 추정을 결합한 엔트로피 방법을 사용하여, 저자들은 커프트 시간이 max{log_k |G|, s_0 k}임을 보이며, 여기서 s_0는 아벨화에서 엔트로피가 (log |G^{ab}|)/k에 도달하는 시점이며, 이 시간이 k와 |G| 이외의 요소에 의존함을 보여, 올드스-디아코니스 추측의 보조 부분과 모순된다.

ABSTRACT

Consider the random Cayley graph of a finite group $G$ with respect to $k$ generators chosen uniformly at random, with $1 \ll \log k \ll \log |G|$ (ie $1 \ll k = |G|^{o(1)}$). A conjecture of Aldous and Diaconis (1985) asserts, for $k\gg\log|G|$, that the random walk on this graph exhibits cutoff. When $\log k \lesssim \log\log|G|$ (ie $k = (\log |G|)^{\mathcal O(1)}$), the only example of a non-Abelian group for which cutoff has been established is the dihedral group. We establish cutoff (as $p o infty$) for the group of $d imes d$ unit upper triangular matrices with integer entries modulo $p$ (prime), which we denote $U_{p,d}$, for fixed $d$ or $d$ diverging sufficiently slowly. We allow $1 \ll k \lesssim \log |U_{p,d}|$ as well as $k\gg\log|U_{p,d}|$. The cutoff time is $\max\{\log_k |U_{p,d}|, \: s_0 k\}$, where $s_0$ is the time at which the entropy of the random walk on $\mathbb Z$ reaches $(\log |U_{p,d}^\mathrm{ab}|)/k$, where $U_{p,d}^\mathrm{ab} \cong \mathbb Z_p^{d-1}$ is the Abelianisation of $U_{p,d}$. When $1 \ll k \ll \log |U_{p,d}^\mathrm{ab}|$ and $d \asymp 1$, we find the limit profile. We also prove highly related results for the $d$-dimensional Heisenberg group over $\mathbb Z_p$. The Aldous--Diaconis conjecture also asserts, for $k gg\log |G|$, that the cutoff time should depend only on $k$ and $|G|$. This was verified for all Abelian groups. Our result shows that this is not the case for $U_{p,d}$: the cutoff time depends on $k$, $|U_{p,d}| = p^{d(d-1)/2}$ and $|U_{p,d}^\mathrm{ab}|=p^{d-1}$. We also show that all but $o(|U_{p,d}|)$ of the elements of $U_{p,d}$ lie at graph distance $M \pm o(M)$ from the identity, where $M$ is the minimal radius of a ball in $\mathbb Z^k$ of cardinality $|U_{p,d}^\mathrm{ab}| = p^{d-1}$. Finally, we show that the diameter is also asymptotically $M$ when $k \gtrsim \log |U_{p,d}^ extrm{ab}|$ and $d\asymp1$.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 군에 대한 보행의 커프트 현상, 특히 Z_p 상의 상삼각행렬과 히젠베르그 군에 대해 조사한다.
• 올드스-디아코니스 추측이 k ≫ log |G|일 때 커프트 시간이 k와 |G|에만 의존한다고 예측하는 보편성의 타당성을 시험한다.
• U_{p,d}와 같은 비아벨 군의 경우, 같은 크기의 아벨 군보다 커프트 시간이 현저히 작을 수 있음을 보이며, 이는 군의 구조에 따라 달라진다.
• 노이미럽 군에 적용 가능한 일반적인 기법을 개발하며, 엔트로피와 군의 아벨화를 기반으로 하며, 일반적인 거리와 지름으로까지 확장된다.

제안 방법

• 혼합 시간을 분석하기 위해 엔트로피 방법을 사용하며, 아벨화 G^{ab}에서의 보행 엔트로피가 (log |G^{ab}|)/k에 도달하는 시간를 추정한다.
• 크기 |G^{ab}|에 맞춰 조정된 Z^k에서의 보행 엔트로피를 기반으로 하한을 도출한다.
• 카일리 그래프의 볼의 구조를 분석하고 아벨화의 기하학과 연관시켜 상한을 확립한다.
• 측도 집중 기법을 사용하여 일반적인 거리와 지름이 특정 값 M 주위에 집중됨을 보이며, 여기서 M은 크기가 |G^{ab}|인 Z^k의 볼의 최소 반경이다.
• 군의 하위 중심 시리즈와 노이미럽 차수를 활용하여 아벨 군의 기법을 비아벨 노이미럽 군으로 일반화한다.
• k ≳ log |G^{ab}|일 경우, 카일리 그래프가 거의 확실히 확산자임을 이용하여 지름과 일반적인 거리를 유계로 둔다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1 ≪ k ≲ log |G|일 때, k가 크지 않은 경우에도 U_{p,d}의 무작위 카일리 그래프에서의 보행이 커프트를 보일까?
• RQ2 비아벨 군의 경우 커프트 시간이 k와 |G| 이외의 요소에 의존할 수 있으며, 이는 올드스-디아코니스 추측의 보조 부분과 모순되는가?
• RQ3 다양한 k와 d에 대해 U_{p,d}의 무작위 카일리 그래프에서 일반적인 거리와 지름의 渐近 행동은 어떠한가?
• RQ4 커프트 시간은 아벨화 G^{ab}에서의 보행 엔트로피와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 U_{p,d}에 사용된 엔트로피 방법은 히젠베르그 군을 포함한 다른 노이미럽 군으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 d 또는 p에 대해 느리게 증가하는 d를 갖는 Z_p 상의 상삼각행렬과 d차원 히젠베르그 군에 대해 커프트가 확립된다.
• 커프트 시간은 max{log_k |G|, s_0 k}이며, 여기서 s_0는 Z^k에서 엔트로피가 (log |G^{ab}|)/k에 도달하는 시점이며, 이는 |G|와 k 이외의 G^{ab}에 의존함을 보여, |G|와 k 이외의 요소에 의존함을 시사한다.
• 1 ≪ k ≪ log |G^{ab}| 및 d ≍ 1일 경우, 커프트의 극한 프로파일이 명시적으로 결정된다.
• G의 거의 모든 원소(비율 o(|G|))는 항등원으로부터 그래프 거리 M ± o(M) 범위 내에 있으며, 여기서 M은 크기가 |G^{ab}|인 Z^k의 볼의 최소 반경이다.
• k ≳ log |G^{ab}| 및 d ≍ 1일 경우, 카일리 그래프의 지름은 거의 확실히 M과 渐近적으로 일치한다.
• 커프트 시간은 군의 구조에 따라 달라지며, 단지 k와 |G|에 의존하지 않으며, 이는 올드스-디아코니스 추측의 보조 부분을 반박한다.