[논문 리뷰] CW type of inverse limits and function spaces

Jaka Smrekar|ArXiv.org|2007. 08. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 57인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 함수 공간 $Y^X$ 및 CW 유형 공간 간의 피브레이션의 역극한의 CW 호모토피 유형을 조사한다. 피브레이션의 역계측계를 분석하고 균일 Mittag-Leffler 성질 및 Zabrodsky의 보조정리와 같은 호모토피 도구를 적용함으로써, 만약 역극한 $Z_∞$ 가 CW 유형을 가진다면, 순서열 $\{\Omega Z_i\}$ 의 부분순서열이 호모토피 동치와 영호모토피 사상의 곱으로 분해됨을 증명한다. 주요 결과로는, $Y$ 가 차수 $N$ 이상에서 자명한 호모토피 군을 가지면, 함수 공간 $Y^{\bigcup L_i}$ 는 유도된 사상 $\pi_k$ 가 Mittag-Leffler 유형 조건을 만족할 때 정확히 CW 유형을 가진다.

ABSTRACT

Given CW complexes X and Y, let map(X,Y) denote the space of continuous functions from X to Y with the compact open topology. The space map(X,Y) need not have the homotopy type of a CW complex. Here the results of an extensive investigation of various necessary and various sufficient conditions for map(X,Y) to have the homotopy type of a CW complex are exhibited. The results extend all previously known results on this topic. Moreover, appropriate converses are given for the previously known sufficient conditions. It is shown that this difficult question is related to well known problems in algebraic topology. For example, the geometric Moore conjecture (asserting that a simply connected finite complex admits an eventual geometric exponent at any prime if and only if it is elliptic) can be restated in terms of CW homotopy type of certain function spaces. Spaces of maps between CW complexes are a particular case of inverse limits of systems whose bonds are Hurewicz fibrations between spaces of CW homotopy type. Related problems concerning CW homotopy type of the limit space of such a system are also studied. In particular, an almost complete solution to a well known problem concerning towers of fibrations is presented.

연구 동기 및 목표

• 함수 공간 $Y^X$ 가 CW 복합체의 호모토피 유형을 가지는 데 필요한 필수 조건과 충분 조건을 규명함으로써, Milnor 과 Kahn 의 기초적인 결과를 확장함.
• 특히 극한 공간이 CW 호모토피 유형을 가지는 경우를 중심으로, CW 유형 공간 간 피브레이션의 역극한의 호모토피 유형을 분석함.
• 함수 공간 $Y^X$ 의 CW 유형을 결정하는 데 기여하는 호모토피 군 $\pi_k(Y)$ 와 그 제약 사상에서의 행동을 조사함.
• 특히 $P$-국소화의 맥락에서, $Y$ 에서 기하학적 H-공간 지수의 존재성과 $Y^X$ 의 CW 유형 간의 관계를 명확히 함.
• CW 유형 함수 공간이 강한 패러다임 현상(phantom phenomena)을 갖지 않음을 보이고, 약하게 수축 가능하지만 수축 가능하지 않은 함수 공간과 같은 구체적 예를 제시함.

제안 방법

• 함수 공간 $Y^X$ 를 유한 부분복합체 $L_i \subset X$ 에 대한 역극한으로 간주하며, 제약 사상 $Y^{L_j} \to Y^{L_i}$ 가 CW 유형 공간 간 피브레이션의 타워를 이룸.
• CW 유형 공간 간 피브레이션의 역계측계의 수렴을 분석하기 위해 균일 Mittag-Leffler 성질을 적용함.
• Zabrodsky의 보조정리와 국소화 이론을 활용하여 $Y^X$ 의 CW 유형이 $Y$ 의 호모토피 군과 $X$ 의 호모로지 사이의 관계로 연결됨을 규명함.
• 비가역성과 호모토피 동치의 논증을 통해 문제를 기저점이 비어 있지 않은 연결된 점지된 CW 복합체로 축소함.
• 경계 성질이 적용 가능한 가산 부분복합체 $L \subset X$ 에 대해, 경로 성분이 CW 유형을 가지면 $\Omega(Y^X, g) \to \Omega(Y^L, g|_L)$ 가 호모토피 동치임을 증명함.
• $Y = K(G,n)$ 이면, $Y^X$ 가 CW 유형을 가지는 것은 $X$ 에 특정한 호모로지 조건이 만족될 때 정확히 일치함을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CW 유형 공간 간 피브레이션의 타워의 역극한이 정확히 CW 복합체의 호모토피 유형을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 $Y$ 가 차수 $N$ 이상에서 자명한 호모토피 군을 가질 경우, 함수 공간 $Y^X$ 가 CW 호모토피 유형을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 유도된 사상 $\pi_k(Z_j) \to \pi_k(Z_i)$ 는 역극한 $Z_\infty$ 의 CW 유형과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 함수 공간 $Y^X$ 의 CW 유형과 $Y$ 에서 기하학적 H-공간 지수의 존재성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 강한 패러다임 현상은 CW 유형 함수 공간에서 피할 수 있는가? 그리고 이러한 현상을 설명하는 예는 무엇인가?

주요 결과

• CW 유형 공간 간 피브레이션의 타워의 역극한 $Z_\infty$ 가 CW 유형을 가진다면, 순서열 $\{\Omega Z_i\}$ 의 부분순서열이 호모토피 동치와 영호모토피 사상의 곱으로 분해됨.
• 만약 $Y$ 가 $\pi_k(Y) = 0$ 를 $k > N$ 에서 만족하면, 함수 공간 $Y^{\bigcup L_i}$ 는 유도된 사상 $\pi_k(Y) \to \pi_k(Y)$ 가 균일 Mittag-Leffler 조건을 만족할 때 정확히 CW 유형을 가짐.
• 만약 $X$ 가 1-연결이고 $\bigoplus_n \pi_n(Y)$ 가 유한 생성이면, $Y^X$ 는 호모토피 군이 Mittag-Leffler 유형 조건을 만족할 때 정확히 CW 호모토피 유형을 가짐.
• $Y = K(G,n)$ 이면, $Y^X$ 는 $X$ 가 특정한 호모로지 유한성 조건을 만족할 때 정확히 CW 유형을 가짐. 특히 $X$ 의 호모로지와 관련된 조건.
• 약하게 수축 가능하지만 수축 가능하지 않은 점지된 함수 공간이 존재함을 보여, CW 유형 함수 공간에서 강한 패러다임 현상이 존재하지 않음을 입증함.
• $X$ 가 유한 복합체의 $P$-국소화이고 $Y$ 가 $P$-국소화이면, 국소화 사상 $X \to X_{(P)}$ 는 $Y^{X_{(P)}} \to Y^X$ 에 대해 진정한 호모토피 동치를 유도함. 이는 $Y^X$ 가 CW 유형을 가지는지 여부와는 무관함.