[논문 리뷰] Cwikel Estimates and Negative Eigenvalues of Schroedinger Operators on Noncommutative Tori

Edward McDonald, Raphaël Ponge|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 50인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 차원 $n \geq 2$ 에서 비가환 토러스 위의 슈뢰딩거 연산자에 대해 Cwikel 유형의 추정을 수립하여, 음의 고유값에 대한 Cwikel-Lieb-Rozenblum (CLR) 및 Lieb-Thirring (LT) 부등식을 도출할 수 있게 한다. 또한 고립된 0-고유값을 가진 연산자에 대한 새로운 '경계' 형태의 Birman-Schwinger 원리와 함께, Sobolev 부등식을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish Cwikel-type estimates for noncommutative tori for any dimension~$n\geq 2$. We use them to derive Cwikel-Lieb-Rozenblum inequalities and and Lieb-Thirring inequalities for the number of negative eigenvalues of fractional Schroedinger operators on noncommutative tori in any dimension~$n\geq 2$. The latter leads to a Sobolev inequality for noncommutative tori. On the way we establish a "borderline version" of the abstract Birman-Schwinger principle for the number of negative eigenvalues of relatively compact form perturbations of a non-negative semi-bounded operator with isolated 0-eigenvalue.

연구 동기 및 목표

• 비가환 토러스에 대해 모든 차원 $n \geq 2$ 에서 Cwikel 유형 추정을 확장하는 것.
• 비가환 토러스 위의 분수 슈뢰딩거 연산자에 대한 음의 고유값에 대한 Cwikel-Lieb-Rozenblum (CLR) 부등식을 도출하는 것.
• 음의 고유값에 대한 Lieb-Thirring (LT) 부등식을 수립하고, 이를 통해 Sobolev 부등식을 도출하는 것.
• 고립된 0-고유값을 가진 비음성 반경계 연산자의 상대적으로 컴팩트한 형상 선회에 적합한 '경계' 형태의 추상적 Birman-Schwinger 원리 개발.

제안 방법

• 비가환 토러스 $\mathbb{T}^n_\theta$ 위의 연산자 $\lambda(x)g(-i\nabla)$ 에 대해 $x \in L_p(\mathbb{T}^n_\theta)$, $p \geq 2$ 를 만족할 때, 비가환 추적-이디얼 기법을 사용하여 Cwikel 유형 추정을 유도한다.
• 이 추정을 비가환 토러스 위의 분수 슈뢰딩거 연산자 $\Delta^{n/2p} + V$ 에 적용하여 음의 고유값의 수를 추정한다.
• 고립된 0-고유값을 가진 연산자에 특화된 개선된 추상적 Birman-Schwinger 원리를 적용하여 음의 고유값의 수를 Birman-Schwinger 핵의 슈atten 노름과 연결한다.
• Schatten 노름을 통한 Birman-Schwinger 연산자의 약한 슈atten 노름을 이용하여, 잠재력의 음의 부분의 $L^{n/2}$-노름을 유계화함으로써 $\gamma=1$ 및 $p=n/2$ 인 Lieb-Thirring 부등식을 유도한다.
• 기존의 $\gamma=1$ 경우와 Sobolev 포함 관계의 등가성에 기반하여 Lieb-Thirring 부등식으로부터 비가환 토러스 위의 Sobolev 부등식을 도출한다.
• 비가환 $L_p$-공간, $\mathbb{T}^n_\theta$ 위의 미분, 슈텐 클레스의 스펙트럼 이론 등의 도구를 사용하여 주요 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 차원 $n \geq 2$ 에서 비가환 토러스로 Cwikel 유형 추정을 확장할 수 있는가?
• RQ2 비가환 토러스 위의 분수 슈뢰딩거 연산자에 대해 Cwikel-Lieb-Rozenblum 부등식이 성립하는가?
• RQ3 비가환 토러스 위에서 음의 고유값에 대한 Lieb-Thirring 부등식을 수립할 수 있으며, 이는 Sobolev 부등식을 유도하는가?
• RQ4 고립된 0-고유값을 가진 연산자에 대해 의미 있는 '경계' 형태의 Birman-Schwinger 원리가 비가환 설정에서 적용 가능한가?
• RQ5 비가환 토러스 위의 최종 Lieb-Thirring 및 Sobolev 부등식에서의 최적 상수는 무엇인가?

주요 결과

• 비가환 토러스 위에서 $p \geq 2$ 인 경우 $\lambda(x)g(-i\nabla)$ 에 대해 Cwikel 유형 추정이 수립되었으며, 이는 고전 결과를 비가환 설정으로 확장한다.
• 분수 슈뢰딩거 연산자에 대해 Cwikel-Lieb-Rozenblum 부등식이 비가환 토러스 위에서 증명되었으며, 이는 $V_-$의 $L^{n/2}$-노름에 따라 음의 고유값의 수에 대한 상계를 제공한다.
• Lieb-Thirring 부등식은 $\gamma=1$ 및 $p=n/2$ 인 경우 유도되었으며, 최적 상수는 $L_n \leq \frac{2}{n+2}\left(\frac{n}{n+2}K_n\right)^{-n/2}$ 를 만족한다. 여기서 $K_n$ 은 비가환 Sobolev 포함에서의 최적 상수이다.
• 고립된 0-고유값을 가진 비음성 반경계 연산자의 상대적으로 컴팩트한 형상 선회에 적합한 새로운 '경계' 형태의 Birman-Schwinger 원리가 제안되고 증명되었으며, 이는 슈텐 노름을 통한 스펙트럼 수세기 가능성을 보장한다.
• Lieb-Thirring 부등식의 $\gamma=1$ 경우는 비가환 토러스 위에서 Sobolev 부등식을 유도하며, 이는 두 부등식 간의 고전적 등가성에 대한 비가환 대응을 수립한다.
• 결과는 모든 차원 $n \geq 2$ 에 대해 유효하며, 표준 및 분수 슈뢰딩거 연산자 모두에 적용 가능한 프레임워크를 제공한다.