[논문 리뷰] Cycle lengths and minimum degree of graphs

Chun‐Hung Liu, Jie Ma|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 31.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 최소 차수를 가진 그래프에서 사이클 길이에 대한 날카운 경계를 확립하며, 최소 차수가 $k+1$ 이상인 그래프는 연속된 짝수 길이의 사이클 $k$개 또는 차이가 2인 산술급수 형태의 길이를 가진 사이클을 포함함을 증명한다. 2-연결 비이분할 그래프의 경우, $k$가 짝수일 때 토마센의 사이클 길이 모듈로 $k$에 대한 추측을 확인하며, $k$가 홀수일 경우 $k+4$가 충분함을 보이며, 이는 이전 결과를 크게 향상시키고 사이클 순서 구조에 기반한 새로운 색칠 수의 경계를 도출한다.

ABSTRACT

There has been extensive research on cycle lengths in graphs with large minimum degree. In this paper, we obtain several new and tight results in this area. Let $G$ be a graph with minimum degree at least $k+1$. We prove that if $G$ is bipartite, then there are $k$ cycles in $G$ whose lengths form an arithmetic progression with common difference two. For general graph $G$, we show that $G$ contains $\lfloor k/2 floor$ cycles with consecutive even lengths and $k-3$ cycles whose lengths form an arithmetic progression with common difference one or two. In addition, if $G$ is 2-connected and non-bipartite, then $G$ contains $\lfloor k/2 floor$ cycles with consecutive odd lengths. Thomassen (1983) made two conjectures on cycle lengths modulo a fixed integer $k$: (1) every graph with minimum degree at least $k+1$ contains cycles of all even lengths modulo $k$; (2) every 2-connected non-bipartite graph with minimum degree at least $k+1$ contains cycles of all lengths modulo $k$. These two conjectures, if true, are best possible. Our results confirm both conjectures when $k$ is even. And when $k$ is odd, we show that minimum degree at least $k+4$ suffices. This improves all previous results in this direction. Moreover, our results derive new upper bounds of the chromatic number in terms of the longest sequence of cycles with consecutive (even or odd) lengths.

연구 동기 및 목표

• 최소 차수가 높은 그래프에서 사이클 길이 모듈로 $k$에 대한 토마센의 오랜 추측을 해결하기 위해.
• 연속적이거나 산술급수 형태의 길이를 가진 $k$개의 사이클을 보장하는 최적의 최소 차수 기준을 규명하기 위해.
• 연속된 짝수 또는 홀수 길이의 사이클 순서에 기반하여 색칠 수의 새로운 상한을 유도하기 위해.
• 최소 차수 제약 조건 하에서 사이클 길이 분포에 대한 알려진 결과와 최선의 경계 사이의 격차를 메우기 위해.
• 특히 이분할 및 비이분할 그래프에서 사이클 순서 존재성을 위한 최소 차수 조건의 날카움을 조사하기 위해.

제안 방법

• 최소 차수가 높은 두 정점 사이에서 $k$개의 경로가 길이 조건을 만족하도록 보장하는 2-연결 이분할 그래프에서 기본적인 경로 존재 결과를 증명한다.
• 구조적 그래프 이론과 블록 분해를 사용하여 2-연결이 아닌 그래프를 2-연결 성분, 특히 끝 블록으로 환원한다.
• 귀납법과 사이클 구성 기법을 활용하여 연속적이거나 산술급수 형태의 길이를 가진 사이클 순서를 구축한다.
• 높은 평균 차수와 둘레를 가진 그래프에서의 사이클 순서에 대한 기존 결과를 활용하여 사이클 길이 분포를 제한한다.
• 비분리된 홀수 사이클을 갖는 임의의 그래프 이론과 임계 그래프 이론을 활용하여 사이클 순서 길이로부터 색칠 수의 경계를 도출한다.
• 최적의 예시인 $K_{k+2}$와 $K_{k+1,n}$를 분석하여 최소 차수 경계의 날카움을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 차수가 $k+1$인 모든 그래프는 연속된 길이 또는 차이가 2인 산술급수 형태의 길이를 가진 $k$개의 사이클을 포함하는가?
• RQ2 토마센의 사이클 길이 모듈로 $k$에 대한 추측은 모든 $k$에 대해 확인될 수 있으며, 이를 위해 필요한 최소 차수는 무엇인가?
• RQ3 연속된 짝수 또는 홀수 길이를 가진 $k$개의 사이클을 보장하는 최적의 최소 차수 조건은 무엇인가?
• RQ4 연속된 짝수 또는 홀수 길이를 가진 사이클의 가장 긴 순서는 그래프의 색칠 수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 최소 차수 경계 $k+4$는 연속된 길이 또는 길이 조건을 보장하기 위해 최적인가?

주요 결과

• 모든 2-연결 이분할 그래프에서 최소 차수가 $k+1$이면, 임의의 두 정점 사이에 길이 조건을 만족하는 $k$개의 경로가 존재하며, 이는 $K_{k,n}$에서 날카운 것으로 밝혀졌다.
• 최소 차수가 $k+1$ 이상인 모든 그래프는 $\lfloor k/2\rfloor$개의 연속된 짝수 길이 사이클과 $k-3$개의 차이가 1 또는 2인 산술급수 형태의 길이를 가진 사이클을 포함한다.
• 만약 $G$가 2-연결이고 비이분할이며 $\delta(G) \geq k+1$이면, $G$는 $\lfloor k/2\rfloor$개의 연속된 홀수 길이 사이클을 포함한다.
• 토마센의 사이클 길이 모듈로 $k$에 대한 추측은 $k$가 짝수일 때 확인되었으며, $k$가 홀수일 경우 $\delta(G) \geq k+4$가 충분하다.
• 최적의 예시인 $K_{k+2}$와 $K_{k+1,n}$를 통해 $\delta(G) \geq k+4$의 경계가 상수 항을 제외하고 날카운 것으로 밝혀졌다.
• 새로운 색칠 수의 상한이 도출되었다: $\chi(G) \leq c(G) + 4$이며, 여기서 $c(G)$는 연속된 짝수 또는 홀수 길이를 가진 사이클 순서의 길이이다.