[논문 리뷰] Cycles and p-competition graphs

Suh-Ryung KIMBoram Park, Park, Boram외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 25.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $C_n$와 그 여집합 $\overline{C_n}$가 $p$-경쟁 그래프가 되는 조건을 $n$에 대한 정확한 $p$ 값으로 규명함으로써 $p$-경쟁 그래프가 되는 조건을 규명한다. 이는 $C_n$이 $p$-경쟁 그래프일 조건이 $n \geq p+3$임을 증명하며, $n$과 $p$에 기반한 $\overline{C_n}$가 $p$-경쟁 그래프가 되는 충분조건을 제시함으로써 기존의 경쟁 그래프 이론과 간선 클리크 커버 이론을 일반화한다.

ABSTRACT

The notion of p-competition graphs of digraphs was introduced by S-R. Kim, T. A. McKee, F. R. McMorris, and F. S. Roberts [p-competition graphs, Linear Algebra Appl., 217 (1995) 167--178] as a generalization of the competition graphs of digraphs. Let p be a positive integer. The p-competition graph C_p(D) of a digraph D=(V,A) is a (simple undirected) graph which has the same vertex set V and has an edge between distinct vertices x and y if and only if there exist p distinct vertices v_1, ..., v_p in V such that (x,v_i), (y,v_i) are arcs of the digraph D for each i=1, ..., p. In this paper, given a cycle of length n, we compute exact values of p in terms of n such that it is a p-competition graph, which generalizes the results obtained by Kim et al. We also find values of p in terms of n so that its complement is a p-competition graph.

연구 동기 및 목표

• 사이클 $C_n$이 $p$-경쟁 그래프가 되는 조건을 규명함으로써 $p$-경쟁 그래프 이론을 확장한다.
• 사이클 $\overline{C_n}$가 $p$-경쟁 그래프가 되는 데 필요한 충분조건을 규명한다.
• 김 등이 이룩한 사이클의 $2$-경쟁 그래프에 대한 이전 결과를 임의의 $p$로 일반화한다.
• 특정 그래프 $G$에 대해 $p$-간선 클리크 커버 수 $\theta_e^p(G)$를 $p$-경쟁 그래프를 규명하는 핵심 도구로 분석한다.

제안 방법

• 정리 1.1을 활용하여 크기가 $n$ 이하인 $p$-간선 클리크 커버의 존재성을 통해 $p$-경쟁 그래프를 특성화한다.
• 모순 증명을 적용하여 $p \geq n-2$일 경우 $C_n$이 $p$-경쟁 그래프가 될 수 없음을 보임으로써 하한 $n \geq p+3$을 확립한다.
• 정점 인덱스의 홀짝성과 모듈로 산술을 기반으로 한 구조화된 클리크 가족을 이용해 $\overline{C_n}$에 대한 명시적 $p$-간선 클리크 커버를 구성한다.
• 끝점의 홀짝성과 거리에 따라 간선를 분류하고, 커버 내 특정 클리크에 할당함으로써 $\overline{C_n}$의 간선 커버를 분석한다.
• 정리 1.2를 활용하여 $\theta_e(\overline{C_n})$의 간선 클리크 커버 수로부터 $\overline{C_n}$가 $p$-경쟁 그래프가 되는 데 필요한 충분조건을 유도한다.
• 홀수 및 짝수 $n$에 대해 경우의 수 분석을 수행하여 최소 간선 클리크 커버를 구성하고 $\theta_e(\overline{C_n})$의 범위를 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 $p$와 $n$ 값에 대해 사이클 $C_n$이 $p$-경쟁 그래프가 되는가?
• RQ2 $C_n$이 $p$-경쟁 그래프가 되지 못하는 최소 $p$ 값은 무엇인가?
• RQ3 어떤 $p$와 $n$ 값에 대해 여집합 $\overline{C_n}$이 $p$-경쟁 그래프가 되는가?
• RQ4 $\theta_e(\overline{C_n})$의 간선 클리크 커버 수는 $\overline{C_n}$의 $p$-경쟁 그래프 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $p$-간선 클리크 커버 수 $\theta_e^p(G)$는 사이클의 $p$-경쟁 그래프를 완전히 특성화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 사이클 $C_n$은 $n \geq p + 3$이면 $p$-경쟁 그래프이다.
• 홀수 $n \geq 9$일 경우, $\overline{C_n}$은 $p \leq \frac{n-3}{2}$이면 $p$-경쟁 그래ph이다.
• 짝수 $n \geq 10$일 경우, $\overline{C_n}$은 $p \leq \frac{n}{2}$이면 $p$-경쟁 그래프이다.
• $\overline{C_8}$의 간선 클리크 커버 수는 $\theta_e(\overline{C_8}) = 6$이며, $p \leq 5$일 경우 $p$-경쟁 그래프이다.
• $\overline{C_6}$는 $p \leq 4$일 경우 $p$-경쟁 그래프이며, $\overline{C_7}$는 $p \leq 1$일 경우 $p$-경쟁 그래프이다.
• 홀수 및 짝수 $n$에 대해 $\overline{C_n}$에 대한 명시적 $p$-간선 클리크 커버를 제시함으로써 유도된 경계의 충분성을 증명한다.