[논문 리뷰] Cycles of random permutations with restricted cycle lengths

Florent Benaych-Georges|ArXiv.org|2007. 12. 12.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 허용된 고리 길이 집합 A에 대한 일반적인 조건 하에서, 제한된 고리 길이를 가진 랜덤 순열에서 고정 길이의 고리 수에 대해 渐近적 독립성과 포isson 근사 법칙을 수립한다. 무한대인 A에 대해 밀도 조건을 만족할 경우, 고리 수는 독립적인 포isson(1/k) 변수로 약하게 수렴한다; 유한한 A에 대해서는 최대 길이의 고리가 지배적이며, 그 수는 n^{l/d}/l로 척도 조정된다. 여기서 d = max A이다.

ABSTRACT

We prove some general results about the asymptotics of the distribution of the number of cycles of given length of a random permutation whose distribution is invariant under conjugation. These results were first established to be applied in a forthcoming paper (Cycles of free words in several random permutations with restricted cycles lengths), where we prove results about cycles of random permutations which can be written as free words in several independent random permutations. However, we also apply them here to prove asymptotic results about random permutations with restricted cycle lengths. More specifically, for $A$ a set of positive integers, we consider a random permutation chosen uniformly among the permutations of $\{1,..., n\}$ which have all their cycle lengths in $A$, and then let $n$ tend to infinity. Improving slightly a recent result of Yakymiv (Random A-Permutations: Convergence to a Poisson Process), we prove that under a general hypothesis on $A$, the numbers of cycles with fixed lengths of this random permutation are asymptotically independent and distributed according to Poisson distributions. In the case where $A$ is finite, we prove that the behavior of these random variables is completely different: cycles with length $\max A$ are predominant.

연구 동기 및 목표

• 제한된 고리 길이를 가진 랜덤 순열에서 고정 길이의 고리 수가 독립적인 포isson 분포로 수렴하는 일반적인 조건을 수립하는 것.
• 일반적인 균일 랜덤 순열에 대한 고전 결과를 A-순열, 즉 고리 길이가 집합 A에 제한된 순열의 경우로 확장하는 것.
• A가 유한한지 무한한지에 따라 나타나는 대조적인 渐진적 행동을 분석하는 것, 특히 유한한 경우에서 최대 길이 고리의 지배성을 중심으로 하는 것.
• 후속 연구에서 필요로 하는, 제한된 고리 길이를 가진 독립적인 랜덤 순열의 자유 단어에서 고리를 연구하기 위한 이론적 기초를 제공하는 것.
• 기존의 해석적 조합론 접근 방식과 다름없이 공액 불변성과 모멘트 渐진적 분석을 사용한 간결하고 분석적인 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 대칭군 위의 기본 확률 측도의 공액 불변성을 활용하여 고리 수의 모멘트 계산을 단순화한다.
• 식 $\mathbb{E}_n[N_l(\sigma_n)^m] = \frac{1}{l^m} \sum_{j=1}^m \binom{m}{m_1,\dots,m_j} \mathbb{P}_n(1,\dots,j \text{ 는 길이 } l \text{ 의 고리에 속함})$ 을 사용하여 문제를 공동 고리 소속 확률 계산으로 환원한다.
• 지표의 분할과 다항계수를 활용한 조합적 수세기 방법을 사용하여 j개의 특정 원소가 길이 l의 고리에 속할 확률을 계산한다.
• A-순열에 대한 지수 생성함수의 알려진 결과를 활용하여 $|\mathfrak{S}_{n-k}^{(A)}| / |\mathfrak{S}_n^{(A)}|$ 의 渐진적 분석을 수행한다.
• 단일 원소 집합으로의 분할에 초점을 맞춰 주요 渐진적 항을 도출하여 $\mathbb{P}_n(1,\dots,j \text{ 는 길이 } l \text{ 의 고리에 속함}) \sim n^{(l/d - 1)j}$ 를 얻는다. 여기서 d = max A이다.
• 모멘트 渐진적 분석과 분포 수렴을 조합하여, 무한 A의 경우는 포isson 법칙의 곱으로 약한 수렴을 도출하고, 유한 A의 경우는 거듭제곱 법칙 척도 조정을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허용된 고리 길이 집합 A에 대해 어떤 조건이면 A-순열에서 고정 길이의 고리 수가 독립적인 포isson 랜덤 변수로 수렴하는가?
• RQ2 A가 유한한지 무한한지에 따라 고리 수의 渐진적 행동은 어떻게 다를까?
• RQ3 A가 유한하고 d = max A일 때, A-순열에서 길이 l의 고리 수의 정확한 척도 행동은 무엇인가?
• RQ4 유한 집합 A의 최대 고리 길이 d가 순열의 渐진적 구조에 미치는 영향은 무엇인가, 특히 요소의 비율을 고려할 때 어떻게 되는가?
• RQ5 전체 생성함수의 渐진적 분석에 의존하지 않고, 모멘트 방법을 통해 A-순열에서 고리 수의 渐진적 독립성을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 무한 집합 A가 밀도 가설(예: 양의 상한 밀도)을 만족할 경우, 고리 수의 공동 분포 $ (N_k(\sigma_n))_{k \in A, k \leq l} $ 은 $ n \to \infty $ 일 때 $ \bigotimes_{k \in A, k \leq l} \operatorname{Poiss}(1/k) $ 로 약하게 수렴한다.
• A가 d = max A를 가진 유한 집합일 경우, 길이 l의 고리 수는 $ \mathbb{E}_n[N_l(\sigma_n)^m] \sim \frac{n^{lm/d}}{l^m} $ 를 만족하며, 이는 $ N_l(\sigma_n)/n^{l/d} \to 1/l $ 이 모든 $ p \geq 1 $ 에 대해 $ L^p $ 에서 성립함을 의미한다.
• 길이 d의 고리가 지배적이다: d-고리가 차지하는 요소 비율은 거의 확실히 1로 수렴하므로, 순열은 渐진적으로 차수 d를 가진다.
• $ |\mathfrak{S}_{n-k}^{(A)}| / |\mathfrak{S}_n^{(A)}| $ 의 渐진적 행동은 $ n^{k/d} $ 와 渐진적으로 같음을 보였으며, 이는 모멘트 渐진적 분석을 이끌어낸다.
• Yakymiv (2007)에서 사용된 전형적 해석적 조합론의 전체 기계적 장치를 피하고, 공액 불변성과 기본 모멘트 분석을 사용한다.
• Yakymiv (2007)의 결과를 개선하여 더 약한 가정 하에서 포isson 근사 법칙을 확립하고, 생성함수의 전체 渐진적 분석에 의존하지 않는 더 짧고 직접적인 증명을 제공한다.