[논문 리뷰] Cyclic and Quasi-Cyclic LDPC Codes on Row and Column Constrained Parity-Check Matrices and Their Trapping Sets

Qin Huang, Qiuju Diao외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 15.

Error Correcting Code Techniques참고 문헌 67인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 순환 부호의 순환 행렬 기반 확인 행렬에 대한 열 및 행 순열을 통해 순환 및 준순환 LDPC 부호를 유도하는 방법을 제안한다. 이는 효율적인 인코딩과 디코딩을 가능하게 한다. 또한 유한 기하학 및 유한 체 기반 LDPC 부호가 행-열 제약 조건을 만족할 경우, 최소 거리 이하의 유해한 트랩셋이 없음을 증명하며, 이로 인해 오류 평면이 최소 무게에 의해 지배되고 $10^{-11}$ BER까지 near-optimal 성능을 보인다.

ABSTRACT

This paper is concerned with construction and structural analysis of both cyclic and quasi-cyclic codes, particularly LDPC codes. It consists of three parts. The first part shows that a cyclic code given by a parity-check matrix in circulant form can be decomposed into descendant cyclic and quasi-cyclic codes of various lengths and rates. Some fundamental structural properties of these descendant codes are developed, including the characterizations of the roots of the generator polynomial of a cyclic descendant code. The second part of the paper shows that cyclic and quasi-cyclic descendant LDPC codes can be derived from cyclic finite geometry LDPC codes using the results developed in first part of the paper. This enlarges the repertoire of cyclic LDPC codes. The third part of the paper analyzes the trapping sets of regular LDPC codes whose parity-check matrices satisfy a certain constraint on their rows and columns. Several classes of finite geometry and finite field cyclic and quasi-cyclic LDPC codes with large minimum weights are shown to have no harmful trapping sets with size smaller than their minimum weights. Consequently, their performance error-floors are dominated by their minimum weights.

연구 동기 및 목표

• 기존 순환 부호에서 행렬 순열을 이용해 순환 및 준순환 LDPC 부호를 체계적으로 생성하는 방법을 개발하기 위해.
• 유래된 순환 및 준순환 부호의 구조적 성질, 특히 생성 다항식의 근을 분석하기 위해.
• RC-제약 조건을 갖는 LDPC 부호의 트랩셋 구조를 조사하고, 해로운 작은 트랩셋이 존재하지 않는 조건을 규명하기 위해.
• 크기가 큰 최소 거리를 갖는 유한 기하학 및 유한 체 기반 LDPC 부호가 최소 거리 이하의 작은 트랩셋이 없기 때문에 오류 평면이 최소 거리에 의해 지배되며, 이는 최소 거리에 의해 지배되는 오류 평면을 보이며, 최소 거리 이하의 작은 트랩셋이 없음을 입증하기 위해.
• 순환 부호가 손실 없이 준순환 형태로 변환되어 인코딩 및 디코딩의 이점을 통합함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 순환 부호의 순환 기반 확인 행렬을 열 및 행 순열을 사용하여 유래된 순환 및 준순환 부호로 분해하기.
• 각 유래된 순환 부호의 생성 다항식의 근을 특성화하여 그 대수적 구조를 분석하기.
• 유한 기하학 LDPC 부호에 분해 프레임워크를 적용하여 새로운 순환 및 준순환 LDPC 부호의 가족을 생성하기.
• 확인 행렬에 행-열(RC) 제약 조건을 적용하여 타너 그래프의 둘레가 최소 6이 되고 4사이클을 피하기 위해.
• RC-제약 조건을 활용하여 오류 패턴에 의해 유도되는 부분 그래프를 분석하고 기저 차수를 갖는 체크 노드의 수를 세어 트랩셋을 분석하기.
• 준순환 구조를 활용해 효율적인 하드웨어 디코딩을 실현하고, 순환 구조를 통해 시프트 레지스터를 이용한 선형 복잡도 인코딩을 실현하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 LDPC 부호를 코드 구조와 성능 특성을 유지하면서 준순환 형태로 체계적으로 변환할 수 있는가?
• RQ2 부모 순환 부호에서 유래된 순환 및 준순환 유래 부호의 근본적인 구조적 성질—특히 생성 다항식의 근—는 무엇인가?
• RQ3 RC-제약 조건을 갖는 LDPC 부호가 최소 거리 이하의 크기의 해로운 트랩셋을 피하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 최소 거리가 큰 유한 기하학 및 유한 체 기반 LDPC 부호가 최소 거리에 의해 지배되는 오류 평면을 보이며, 트랩셋이 아닌가?
• RQ5 순환 인코딩과 준순환 디코딩의 조합을 성능이나 복잡도를 훼손하지 않고 실제로 실현할 수 있는가?

주요 결과

• GF(32)에서 순서 32의 라틴 스퀘어를 기반으로 한 순환 LDPC 부호는 최소 거리가 최소 36이며, 34 미만의 트랩셋이 없음을 확인하여 최소 거리가 오류 평면의 주요 제한 요소임을 입증한다.
• 광범위한 컴퓨터 검색을 통해 34 미만의 해로운 트랩셋이 발견되지 않았으며, 오직 두 개의 ${\cal T}(36,0)$ 트랩셋만 확인되었으며, 이는 최소 거리 36을 지지한다.
• 최소 합 FPGA 디코더를 사용하여 BLER가 $10^{-9}$일 때 구름 패킹 한계로부터 1.1 dB 떨어져 있으며, $10^{-11}$ BER까지 눈에 띄는 오류 평면이 없이 성능을 유지한다.
• GF($2^5$) 기반의 QC-LDPC 부호 ${\cal C}_{LS,qc,f}$ 는 $n=992$, $n-k=31$, $d_{\min} \geq 34$ 의 파라미터를 가지며, $2^5 - 4 = 28$ 미만의 트랩셋이 없다.
• 모든 크기 $\kappa$의 트랩셋에서 $1 < \kappa < 2^s - 4$ 이면, 기저 차수를 갖는 체크 노드 수 $\tau$ 는 $\tau > 4\kappa$ 를 만족함을 확인하여 작은 해로운 트랩셋이 존재하지 않음을 확인한다.
• RC-제약 조건을 만족하는 유한 기하학 및 유한 체 기반 LDPC 부호는 최소 거리 이하의 트랩셋이 없음을 증명하며, 이는 오류 평면이 최소 거리에 의해 지배됨을 의미한다.