[논문 리뷰] Cyclic bent functions and their applications in codes, codebooks, designs, MUBs and sequences

Cunsheng Ding, Sihem Mesnager외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 19.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 위의 순환 벤트 함수를 소개하고, 기존의 가족들을 통합하는 일반적 구성법을 제안한다. 이는 킴드록 코드와 주 등에 의한 것들을 포함한다. 이러한 함수들은 최적의 코드북, 상호 무관 기저(MUBs), 점차적으로 최적인 수열 가족을 구성하는 데 응용되며, 킴드록 코드를 일반화하고 이차 순환 반-벤트 함수를 특성화한다.

ABSTRACT

Let $m$ be an even positive integer. A Boolean bent function $f$ on $\GF{m-1} imes \GF {}$ is called a \emph{cyclic bent function} if for any $a eq b\in \GF {m-1}$ and $ε\in \GF{}$, $f(ax_1,x_2)+f(bx_1,x_2+ε)$ is always bent, where $x_1\in \GF {m-1}, x_2 \in \GF {}$. Cyclic bent functions look extremely rare. This paper focuses on cyclic bent functions on $\GF {m-1} imes \GF {}$ and their applications. The first objective of this paper is to construct a new class of cyclic bent functions, which includes all known constructions of cyclic bent functions as special cases. The second objective is to use cyclic bent functions to construct good mutually unbiased bases (MUBs), codebooks and sequence families. The third objective is to study cyclic semi-bent functions and their applications. The fourth objective is to present a family of binary codes containing the Kerdock code as a special case, and describe their support designs. The results of this paper show that cyclic bent functions and cyclic semi-bent functions have nice applications in several fields such as symmetric cryptography, quantum physics, compressed sensing and CDMA communication.

연구 동기 및 목표

• 순환 벤트 함수의 개념을 $\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 위에서 정의하고 형식화하는 것. 이는 강력한 구조적 대칭성을 지닌 희귀한 부울 함수의 클래스이다.
• 모든 알려진 순환 벤트 함수를 특수 케이스로 포함하는 일반적 구성법을 개발하여 새로운 사례를 체계적으로 생성할 수 있도록 하는 것.
• 순환 벤트 함수를 활용하여 최적 또는 점차적으로 최적인 코드북, MUBs, 수열 가족을 구성하고, 레벤슈타인 및 웰치 경계와 같은 기본 경계에 도달하거나 이를 근접하는 것.
• 순환 벤트 함수를 사용하여 킴드록 코드를 일반화하고, 그 지지 구조에서 새로운 3-설계를 도출하는 것.
• 이차 순환 반-벤트 함수를 특성화하고, 특정 매개변수와 무게 분포를 가진 새로운 이진 코드를 구성하는 것.

제안 방법

• 순환 벤트 함수의 일반적 구성법을 제안: $\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 위에서 정의된 함수 $f(x_1,x_2)$ 의 클래스를 통해, 모든 $a \neq b$ 와 $\epsilon \in \mathbb{F}_2$ 에 대해 $f(ax_1,x_2) + f(bx_1,x_2+\epsilon)$ 의 벤트 성질을 보장한다.
• 웨일 변환과 추적 함수를 사용하여 벤트 성질를 검증하며, 특히 절대 추적 $\mathrm{Tr}^{m-1}_1$ 과 유한체 위의 이차 형식을 활용한다.
• 순환 벤트 함수로부터 실수 및 복소수 코드북을 구성: 크기 $(2^{2m-1}+2^m, 2^m)$ 인 실수 코드북 $2^{2^{m-1}-1}$ 개와 크기 $(2^{2(m-1)}+2^{m-1}, 2^{m-1})$ 인 복소수 코드북 1개를 구성하며, 이는 레벤슈타인 경계를 충족한다.
• 순환 벤트 및 반-벤트 함수를 통해 4진수 및 이진수 수열 가족을 생성하고, 최대 상관관계 값이 웰치 경계에 가까운 결과를 도출한다.
• 함수의 선형화된 부분에서 유도된 특정 다항식의 최대공약수를 이용하여 이차 순환 반-벤트 함수를 특성화한다.
• 순환 벤트 함수를 사용하여 일반화된 킴드록 코드를 구성하고, 원래 킴드록 코드와 동일한 매개변수와 무게 분포를 가지며, 지지 구조에서 새로운 3-설계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 순환 벤트 함수, 예를 들어 킴드록 코드와 주 등의 구성에서 유도된 것들을 통합하는 일반적 구성법이 가능한가?
• RQ2 순환 벤트 함수를 사용하여 레벤슈타인 경계를 충족하는 최적 또는 점차적으로 최적인 코드북을 구성할 수 있는가?
• RQ3 순환 벤트 함수를 사용하여 $\mathbb{C}^{2^{m-1}}$ 에서 완전한 상호 무관 기저(MUBs) 집합을 구성할 수 있는가?
• RQ4 최대 상관관계가 낮은(웰치 경계에 가까운) 수열 가족을 순환 벤트 및 반-벤트 함수에서 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 이차 순환 반-벤트 함수의 특성은 무엇이며, 이를 사용하여 무게 분포가 알려진 새로운 이진 코드를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 기존의 킴드록 함수와 주 등의 구성법을 특수 케이스로 포함하는 순환 벤트 함수의 일반적 구성법을 제안하여 기존의 가족들을 통합한다.
• 크기 $(2^{2m-1}+2^m, 2^m)$, 알파벳 크기 4인 실수 코드북 $2^{2^{m-1}-1}$ 개를 구성하였으며, 이는 실수 코드북의 레벤슈타인 경계를 충족한다.
• 크기 $(2^{2(m-1)}+2^{m-1}, 2^{m-1})$, 알파벳 크기 6인 최적의 복소수 코드북을 구성하였으며, 이는 복소수 코드북의 레벤슈타인 경계를 충족한다.
• 짝수 $m$ 에 대해 순환 벤트 함수로부터 $\mathbb{C}^{2^{m-1}}$ 에서 $2^{m-1}$ 개의 완전한 상호 무관 기저(MUBs) 집합을 구성한다.
• 주기 $2^{m-1}-1$, 크기 $2^{m-1}+1$, 최대 상관관계 $\leq 1 + \sqrt{2^{m-1}}$ 인 4진수 수열 가족을 구성하였으며, 웰치 경계에 거의 도달한다.
• 주기 $2(2^{m-1}-1)$, 크기 $2^{m-1}$, 최대 비자명 상관관계 $2^{m/2}+2$ 인 이진수 수열 가족을 순환 벤트 함수를 사용하여 구성하였으며, 점차적으로 최적성을 확보한다.
• 이차 반-벤트 함수를 사용하여 매개변수 $(2^n, 2^{2n+1}, 2^{n-1} - 2^{(n-1)/2})$ 를 가진 새로운 이진 코드 가족을 구성하였으며, $n$ 은 홀수이다.
• 이차 순환 반-벤트 함수의 완전한 특성화를 두 개의 다항식 최대공약수 조건을 통해 제시하였으며, 이를 통해 체계적인 구성이 가능해진다.
• 순환 벤트 함수에서 유도된 일반화된 킴드록 코드는 원래 킴드록 코드와 동일한 매개변수와 무게 분포를 가지며, 지지 구조에서 새로운 3-설계를 도출한다.