[논문 리뷰] Cyclic Codes from APN and Planar Functions

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 20.

Coding theory and cryptography참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 거의 완전 비선형(APN) 및 평면 함수를 사용하여 최적 및 거의 최적의 순환 코드를 구성한다. 이 함수들의 대수적 성질을 활용하여 높은 최소 거리와 융통성 있는 차원을 확보한다. 이 방법은 최소 무게에 대한 날카운 경계를 제공하며, 여러 클래스가 최적성을 달성한다. 응용 분야는 오류 수정 및 암호화 기법이다.

ABSTRACT

Cyclic codes are a subclass of linear codes and have applications in consumer electronics, data storage systems, and communication systems as they have efficient encoding and decoding algorithms. In this paper, almost perfect nonlinear functions and planar functions over finite fields are employed to construct a number of classes of cyclic codes. Lower bounds on the minimum weight of some classes of the cyclic codes are developed. The minimum weights of some other classes of the codes constructed in this paper are determined. The dimensions of the codes are flexible. Many of the codes presented in this paper are optimal or almost optimal in the sense that they meet some bound on linear codes. Ten open problems regarding cyclic codes from highly nonlinear functions are also presented.

연구 동기 및 목표

• APN 및 평면 함수를 사용하여 유한체 위에서 최소 거리가 높은 순환 코드를 체계적으로 구성하는 방법을 개발한다.
• 특히 차원과 최소 무게에 중점을 두어, 극도로 비선형적인 함수로부터 유도된 순환 코드의 구조적 성질을 탐구한다.
• 기존 선형 부호에 대한 알려진 경계에 비해, 구성된 부호가 최적성 또는 거의 최적성을 달성하는 조건을 규명한다.
• 이러한 함수로부터 유도된 수열의 선형 스펙트럼과 최소 다항식을 분석하여, 효율적인 인코딩 및 디코딩을 지원한다.
• 특히 이진 및 비이진 설정에서, 극도로 비선형 함수로부터 순환 부호를 구성하는 데 있어 열려 있는 문제들을 규명한다.

제안 방법

• 유한체 $\mathrm{GF}(q^m)$ 위에서 거의 완전 비선형(APN) 및 평면 함수를 사용하여 주기 $n = q^m - 1$인 수열을 정의한다.
• 수열의 생성 함수 $S(x)$를 기반으로 생성 다항식 $g(x) = \frac{x^n - 1}{\gcd(S(x), x^n - 1)}$를 통해 순환 부호 $\mathcal{C}_s$를 구성한다.
• 주기 $n = q^m - 1$에 대한 $q$-순환 코셋을 적용하여 부호의 구조를 분석하고 생성 다항식을 규명한다.
• 최소 다항식과 선형 스펙트럼 계산을 활용하여 수열과 관련된 부호를 특성화한다.
• 정의 수열을 수정하여 이중 구조 $\mathcal{C}_{\check{s}}$를 도입함으로써, 개선된 매개변수를 가진 부분부호를 도출한다.
• 추적 함수와 체 원소의 최소 다항식을 사용하여 생성 다항식과 최소 거리에 대한 경계를 명시적으로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 APN 및 평면 함수를 체계적으로 활용하여 최소 거리가 높은 순환 부호를 구성할 수 있는가?
• RQ2 APN 및 평면 함수를 사용하여 $\mathrm{GF}(q^m)$ 위에서 구성된 순환 부호의 최소 무게와 차원 성질은 무엇인가?
• RQ3 기존 선형 부호에 대한 알려진 경계에 비해, 이러한 부호가 최적성 또는 거의 최적성을 달성하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 APN 함수로부터 유도된 수열의 선형 스펙트럼과 최소 다항식은 결과로 도출된 순환 부호의 구조와 성능에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 특히 이진 및 비이진 케이스에서, 극도로 비선형 함수로부터 최적의 순환 부호를 구성하는 데 있어 열려 있는 문제들은 무엇인가?

주요 결과

• $m=5$인 이진 순환 부호 $\mathcal{C}_{\check{s}}$는 매개변수 $[31, 20, 6]$을 가지며, 이는 최적이다.
• $m=7$일 때, 부호 $\mathcal{C}_{\check{s}}$는 매개변수 $[127, 98, 8]$을 가지며 최적이 아니지만, 이 길이와 차원을 가진 최고의 알려진 이진 순환 부호일 수 있다.
• 웰처(APN) 함수 $f(x) = x^{2^t + 3}$에 의해 정의된 수열의 선형 스펙트럼은 홀수 $m \geq 7$일 때 $4m + 1$이다.
• 수열 $\check{s}^\infty$의 최소 다항식은 $\mathbb{M}_{\check{s}}(x) = (x-1)m_{\alpha^{-1}}(x)m_{\alpha^{-3}}(x)m_{\alpha^{-(2^t+1)}}(x)m_{\alpha^{-(2^t+2)}}(x)$이다.
• 역(APN) 함수 및 첫 번째 니호(APN) 함수로부터 유도된 수열은 큰 선형 스펙트럼을 가지며, 스트림 암호의 키스트림으로 사용하기에 적합하다.
• 극도로 비선형 함수로부터 순환 부호를 구성하는 데 있어 열린 문제 10개를 규명하였다. 특히 최적성과 매개변수 경계에 관한 것이다.