[논문 리뷰] Cyclic Codes from Dickson Polynomials

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 20.

Coding theory and cryptography참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 차수를 작게 유지한 제1종 딕슨 다항식을 사용하여 최적 및 거의 최적의 순환 코드를 구성한다. 이러한 다항식의 대수적 구조와 관련 수열을 활용함으로써, 유연한 차원을 가진 순환 코드를 유도하고 최소 무게에 대한 하한 또는 정확한 값을 확립하며, 대부분의 구성된 코드가 최적 또는 거의 최적임을 보여준다.

ABSTRACT

Due to their efficient encoding and decoding algorithms cyclic codes, a subclass of linear codes, have applications in consumer electronics, data storage systems, and communication systems. In this paper, Dickson polynomials of the first and second kind over finite fields are employed to construct a number of classes of cyclic codes. Lower bounds on the minimum weight of some classes of the cyclic codes are developed. The minimum weights of some other classes of the codes constructed in this paper are determined. The dimensions of the codes obtained in this paper are flexible. Most of the codes presented in this paper are optimal or almost optimal in the sense that they meet some bound on linear codes. Over ninety cyclic codes of this paper should be used to update the current database of tables of best linear codes known. Among them sixty are optimal in the sense that they meet some bound on linear codes and the rest are cyclic codes having the same parameters as the best linear code in the current database maintained at http://www.codetables.de/.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위에서 제1종 딕슨 다항식을 사용한 순환 코드의 체계적 구성 방법을 개발한다.
• 유도된 순환 코드의 최소 거리와 차원을 조사하며, 특히 최적성에 초점을 맞춘다.
• 딕슨 다항식과 기존의 순환 코드 가족(예: BCH 코드) 간의 관계를 탐색한다.
• 제안된 구성 방법이 최소 거리 측면에서 종종 최적 또는 거의 최적인 코드를 도출함을 보여준다.
• 낮은 차수의 딕슨 다항식에서 유도된 몇몇 코드 클래스에 대해 최소 무게에 대한 명시적 하한 또는 정확한 값을 제공한다.

제안 방법

• 유한체 GF(q) 위에서 차수를 작게 유지한 제1종 딕슨 다항식을 사용하여 주기 n = q^m - 1인 수열을 생성한다.
• 딕슨 다항식에서 유도된 수열의 생성함수 S(x)를 기반으로, g(x) = (x^n - 1) / gcd(S(x), x^n - 1)로 정의된 생성 다항식을 통해 순환 코드를 정의한다.
• GF(q^m)에서의 추적 함수와 q-순환 코셋의 성질을 활용하여 선형 스펜과 코드의 차원을 분석한다.
• 특히 이진 수열의 경우, GF(2^m)에서의 지수 합에 관한 보조정리 14를 적용하여 수열 집합의 최대 상관관계를 유계화한다.
• 딕슨 다항식의 대수적 성질과 관련 추적 함수를 이용하여 코드의 무게 분포와 최소 거리를 분석한다.
• 구조적 및 매개변수 비교를 통해 구성된 코드가 알려진 가족(예: BCH 코드)과 동치 또는 비동치임을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 차수의 제1종 딕슨 다항식을 사용하여 최적 또는 거의 최적의 최소 거리를 가지는 순환 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ2 유한체 위에서 딕슨 다항식에서 유도된 순환 코드의 정확한 또는 하한된 최소 무게는 무엇인가?
• RQ3 구성된 코드의 차원은 딕슨 다항식의 차수와 기저 체의 특성에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ4 구성된 코드가 BCH 코드와 같은 기존 가족과 어느 정도 동치인가?
• RQ5 딕슨 다항식에서 유도된 수열 집합의 최대 상관관계는 무엇이며, 이는 코드의 최적성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 작은 차수의 제1종 딕슨 다항식에서 유도된 순환 코드는 최소 거리 측면에서 자주 최적 또는 거의 최적이다.
• m이 홀수이고 m ≥ 3일 때 GF(2^m)에서 D₃(x, a)로 유도된 이진 수열에 대해, S̄ = S ∪ {s(∞)^∞} 집합의 최대 상관관계는 1 + 2^{(m+1)/2}이며, 이는 시델니코프 및 레베인슈타인 경계와 정확히 일치한다.
• a = 0이면 수열 s(a)^∞의 선형 스펜은 m 또는 m+1이며, 그렇지 않으면 2m 또는 2m+1이다. 이는 양호한 복잡성 특성을 나타낸다.
• 수열 집합 S는 크기가 2^m이며, 모든 수열은 상호 다르므로 제어된 상관관계를 가지는 풍부한 수열 집합을 보장한다.
• 구성된 코드는 딕슨 다항식의 차수와 체의 특성에 따라 다양한 차원을 가지며, 매우 민첩한 특성을 보인다.
• 여러 경우에서 딕슨 다항식에서 유도된 코드 𝒞_s는 BCH 코드와 동치임이 입증되었지만, 차원과 최소 거리는 제안된 방법을 통해 명시적으로 결정되었다.