[논문 리뷰] Cyclic Cohomology of Crossed Coproduct Coalgebras

R. Akbarpour, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|2001. 07. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 순환 코hom로지 이론을 순환 코프로덕트 코알제브라 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 로 확장하며, 코사이클릭 모듈 $C\natural\mathcal{H}$ 를 사용하여 순환 모듈의 순환 코프로덕트 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 와 $C\natural\mathcal{H}$ 의 대각선 사이의 동형을 확립한다. 이는 $HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H})$ 를 근사하는 스펙트럴 시퀀스를 구성하며, $\mathsf{E}^0$, $\mathsf{E}^1$, $\mathsf{E}^2$ 항의 명시적 해석을 제공하고, $\mathcal{H}$ 가 코세미단순일 경우 순환 코프로덕트의 순환 코호모로지가 코인variant 모듈 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 의 순환 코호모로지와 동형임을 증명한다.

ABSTRACT

We extend our work in~\cite{rm01} to the case of Hopf comodule coalgebras. We introduce the cocylindrical module $C atural^{} \mathcal{H}$, where $\mathcal{H}$ is a Hopf algebra with bijective antipode and $C$ is a Hopf comodule coalgebra over $\mathcal{H}$. We show that there exists an isomorphism between the cocyclic module of the crossed coproduct coalgebra $C > \blacktriangleleft \mathcal{H} $ and $Δ(C atural^{}\mathcal{H}) $, the cocyclic module related to the diagonal of $C atural^{} \mathcal{H}$. We approximate $HC^{\bullet}(C > \blacktriangleleft \mathcal{H}) $ by a spectral sequence and we give an interpretation for $ \mathsf{E}^0, \mathsf{E}^1$ and $\mathsf{E}^2 $ terms of this spectral sequence.

연구 동기 및 목표

• 교차 곱 대수에서의 순환 코호모로지 방법을 교차 코프로덕트 코알제브라로 일반화하기.
• 역행성 항등원을 가진 호프 대수 $\mathcal{H}$ 에 대한 호프 코모듈 코알제브라 $C$ 에 대해 코사이클릭 모듈 $C\natural\mathcal{H}$ 를 구성하기.
• 교차 코프로덕트 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 의 순환 모듈과 $C\natural\mathcal{H}$ 의 대각선 사이의 동형을 확립하기.
• 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 의 순환 코호모로지를 근사하고, 그 초기 항들을 해석하기.
• 이전 연구에서 발견된 코인variant 호모로지의 이중으로서 코인variant 모듈 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 의 코호모로지적 해석을 제공하기.

제안 방법

• 역행성 항등원을 가진 호프 대수 $\mathcal{H}$ 와 호프 코모듈 코알제브라 $C$ 에서 코사이클릭 모듈 $C\natural\mathcal{H}$ 를 구성하기.
• 수평 및 수직 구조에 의해 유도된 연산자를 가진 $A(n,n) = (C\otimes\mathcal{H})^{\bigotimes(n+1)}$ 에서의 파라코사이클릭 대상으로서의 대각선 $\Delta(C\natural\mathcal{H})$ 를 정의하기.
• 코사이클릭 모듈에 대한 Eilenberg-Zilber 정리를 적용하여 $\Delta(C\natural\mathcal{H})$ 와 전체 복합체 $Tot^\bullet(C\natural\mathcal{H})$ 사이의 준동형을 얻고, 이는 $HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H})$ 로 수렴하는 스펙트럴 시퀀스를 유도한다.
• 전체 복합체 $Tot^\bullet$ 를 부분복합체 $\mathsf{F}^i_{pq}$ 로 필터링하여 스펙트럴 시퀀스를 정의하고, $\mathsf{E}^0$-항을 $\mathsf{C}^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W})$ 로 주기.
• $\mathsf{E}^1$-항을 $\mathcal{H}$-코호모로지의 $\mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W}$ 의 코호모로지로 식별하고, $\mathsf{E}^2$-항을 $\mathsf{W}$ 를 계수로 가지는 $\mathcal{H}$-코호모로지 모듈의 순환 코호모로지로 식별하기.
• 코세미단순 $\mathcal{H}$ 에 대해 호모토피 연산자가 존재함을 이용하여 $p > 0$ 에 대해 $H^p(\mathcal{H}, M) = 0$ 임을 보이고, 이는 스펙트럴 시퀀스의 붕괴와 순환 코호모로지의 동형으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 교차 코프로덕트 코알제브라 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 의 순환 코호모로지를 코사이클릭 모듈 구조를 통해 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 의 순환 모듈과 $C\natural\mathcal{H}$ 의 대각선 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 순환 코호모로지를 근사하는 스펙트럴 시퀀스의 $\mathsf{E}^0$, $\mathsf{E}^1$, $\mathsf{E}^2$ 항은 어떻게 해석되는가?
• RQ4 코인variant 모듈 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 의 코호모로지는 교차 코프로덕트의 순환 코호모로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 언제 스펙트럴 시퀀스가 붕괴하고, 이는 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 의 순환 코호모로지에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 코세미단순일 경우, 교차 코프로덕트 코알제브라 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 의 순환 코호모로지는 코인variant 모듈 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 의 순환 코호모로지와 동형이다.
• 스펙트럴 시퀀스의 $\mathsf{E}^0$-항은 복합체 $\mathsf{C}^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W})$ 와 동형이며, 미분 $\boldsymbol{\delta}$ 를 가진다.
• $\mathsf{E}^1$-항은 $\mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W}$ 의 $\mathcal{H}$-코호모로지이며, 미분은 $\mathfrak{b} + \mathbf{u}\mathfrak{B}$ 이다.
• $\mathsf{E}^2$-항은 $HC^q(H^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}})); \mathsf{W})$ 이며, $\mathsf{W}$ 를 계수로 가지는 $\mathcal{H}$-코호모로지 모듈의 순환 코호모로지이다.
• 코세미단순 호프 대수 $\mathcal{H}$ 에 대해 스펙트럴 시퀀스는 $\mathsf{E}^2$ 에서 붕괴하며, $HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}) \simeq HC^\bullet(\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C))$ 임을 유도한다.
• 동일한 코세미단순 조건 하에서 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ 의 호크시드 코호모로지 역시 $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ 의 호크시드 코호모로지와 동형이다.