[논문 리뷰] Cyclic Homologies of Crossed Modules of Algebras

Гурам Донадзе, Nick Inassaridze외 2명|ArXiv.org|2008. 12. 03.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비단위 결합 대수의 교차 모듈에 대한 cotriple 순환 호몰로지 이론을 개발하고, 순환 호몰로지와 cotriple 순환 호몰로지를 비교하는 장점 긴 호몰로지 시퀀스를 수립하며, 상대 순환 호몰로지 정확 시퀀스를 일반화한다. 또한 Wodzicki의 분할 정리(Excision theorem)를 교차 모듈로 확장하고, 교차 모듈의 네크스의 호몰로지가 스펙트럴 시퀀스의 추론을 통해 그의 cotriple 순환 호몰로지와 장점 긴 시퀀스에 들어가는 것을 증명한다.

ABSTRACT

The Hochschild and (cotriple) cyclic homologies of crossed modules of (not-necessarily-unital) associative algebras are investigated. Wodzicki's excision theorem is extended for inclusion crossed modules in the category of crossed modules of algebras. The cyclic and cotriple cyclic homologies of crossed modules are compared in terms of long exact homology sequence, generalising the relative cyclic homology exact sequence.

연구 동기 및 목표

• 비단위 결합 대수의 교차 모듈의 범주에서 cotriple 순환 호몰로지 이론을 개발하는 것.
• 장점 긴 호몰로지 시퀀스를 이용해 교차 모듈의 순환 호몰로지와 그의 cotriple 순환 호몰로지를 비교하는 것.
• 상대 순환 호몰로지 정확 시퀀스를 교차 모듈의 맥락으로 일반화하는 것.
• Wodzicki의 분할 정리를 대수의 포함 교차 모듈로 확장하는 것.
• 교차 모듈의 네크스의 호몰로지가 그의 cotriple 순환 호몰로지와 장점 긴 시퀀스에 들어가는 것을 수립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 단순형 방법을 사용하고, 네크스 구성법을 통해 교차 모듈의 순환 호몰로지를 정의한다.
• 그들은 교차 대수의 범주에서 교차 모듈의 단순형 해상화를 만들기 위해 Barr-Beck cotriple 해상화를 적용한다.
• 이 해상화의 Hochschild 및 순환 체계 복합체로부터 이중 복합체 구조를 형성하고, 이로부터 스펙트럴 시퀀스를 도출한다.
• 이 스펙트럴 시퀀스를 분석하여 E²-페이지에서 분해됨을 보이고, 총 호몰로지와 cotriple 순환 호몰로지 사이의 동형을 얻는다.
• 반대칭 단순형 벡터 공간의 약화성(acyclicity)은 반직접곱 대수의 asphericity를 이용해 증명한다.
• 짧은 정확한 복합체 시퀀스와 유도된 호몰로지 장점 긴 시퀀스로부터 장점 긴 시퀀스를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비단위 결합 대수의 교차 모듈에 대해 cotriple 순환 호몰로지를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 교차 모듈의 순환 호몰로지와 그의 cotriple 순환 호몰로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 Wodzicki의 분할 정리는 포함 교차 모듈의 대수로 확장되는가?
• RQ4 상대 순환 호몰로지 정확 시퀀스는 교차 모듈의 맥락으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 교차 모듈의 순환 호몰로지와 cotriple 순환 호몰로지 간 비교를 뒷받침하는 스펙트럴 시퀀스의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 교차 모듈 (R,A,ρ)의 cotriple 순환 호몰로지는 그의 단순형 해상화로부터 구성된 이중 복합체의 총 복합체 호몰로지와 동형이다.
• 교차 모듈의 순환 호몰로지, 그의 cotriple 순환 호몰로지, 그리고 그 후행된 형태의 후행된 호몰로지 사이에 장점 긴 호몰로지 시퀀스가 수립된다.
• 이중 복합체에 관련된 스펙트럴 시퀀스는 E²-페이지에서 분해되어, n ≥ 0 인 경우 H_{n+1}(γ(M,R,μ)) ≅ ξHC_n(M,R,μ) 라는 동형을 얻는다.
• Hochschild 및 순환 호몰로지의 분할 정리는 포함 교차 모듈의 대수로 확장된다.
• 교차 모듈의 네크스의 호몰로지는 그의 cotriple 순환 호몰로지와 장점 긴 시퀀스에 들어가며, 고전적 상대 순환 호몰로지 시퀀스를 일반화한다.
• 기저 단순형 대수가 aspherical라는 가정 하에, 증명된 반대칭 단순형 벡터 공간 β_n 및 γ_n의 약화성이 성립한다.