[논문 리뷰] Cyclic homology, $S^1$-equivariant Floer cohomology, and Calabi-Yau structures

Sheel Ganatra|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 49인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 다양체 위에서 푸카야 카테고리의 순환 호몰로지에서 $S^1$-동치 푸카야 호몰로지로의 개방-폐쇄 사상에 대해 기하학적이고 $S^1$-동치적인 강화를 구축한다. 이 강화가 $C_*(S^1)$-모듈러의 $A_\infty$-준동형사상임을 증명하며, 이는 푸카야 카테고리에 대한 매끄럽고 완전한 칼라비-야우 구조의 새로운 구성과, 컴acts 심플렉틱 다양체의 푸카야 카테고리의 매끄럽고 완전한 부분카테고리에 대한 비가환 Hodge-de Rham 분해의 심플렉틱적 증명을 이끈다.

ABSTRACT

We construct geometric maps from the cyclic homology groups of the (compact or wrapped) Fukaya category to the corresponding $S^1$-equivariant (Floer/quantum or symplectic) cohomology groups, which are natural with respect to all Gysin and periodicity exact sequences and are isomorphisms whenever the (non-equivariant) open-closed map is. These {\em cyclic open-closed maps} give (a) constructions of geometric smooth and/or proper Calabi-Yau structures on Fukaya categories (which in the proper case implies the Fukaya category has a cyclic A-infinity model in characteristic 0) and (b) a purely symplectic proof of the non-commutative Hodge-de Rham degeneration conjecture for smooth and proper subcategories of Fukaya categories of compact symplectic manifolds. Further applications of cyclic open-closed maps, to counting curves in mirror symmetry and to comparing topological field theories, are the subject of joint projects with Perutz-Sheridan [GPS1, GPS2] and Cohen [CG].

연구 동기 및 목표

• 푸카야 카테고리의 순환 호몰로지에서 $S^1$-동치 플로어 코호몰로지로의 개방-폐쇄 사상에 대해 기하학적이고 $S^1$-동치적인 강화를 확립한다.
• 콤���트 심플렉틱 다양체의 푸카야 카테고리의 매끄럽고 완전한 부분카테고리에 대해 비가환 Hodge-de Rham 분해 추측의 심플렉틱적 증명을 제공한다.
• 순환 호몰로지와 $S^1$-동치 플로어 코호몰로지를 통해 푸카야 카테고리에 매끄럽고 완전한 칼라비-야우 구조를 구축한다.
• 해밀토니안 플로어 호몰로지 위의 기하학적 $S^1$-작용과 푸카야 카테고리의 호크시드 호몰로지 위의 카테고리적 $S^1$-작용 간의 호환성을 명확히 한다.

제안 방법

• 비동치성 문제를 해결하기 위해 고차 호모토피를 포함한 기하학적 $A_\infty$ 준동형사상 $\widetilde{\mathcal{OC}}$ 를 $C_*(S^1)$-모듈러의 개방-폐쇄 사상 $\mathcal{OC}$ 를 강화하는 방식으로 구성한다.
• 호크시드 호몰로지 $\mathrm{CH}_*(\mathcal{F})$ 와 $CF^*(M)$ 에서의 $C_*(S^1)$-모듈러 구조를 사용하며, 콘네스의 $B$-연산자와 BV 연산자 $\Delta$ 를 핵심적인 대수적·기하학적 $S^1$-작용으로 삼는다.
• 호모토피 궤도, 고정점, 타이트 복합체 구성법을 $CF^*(M)$ 과 $\mathrm{CH}_*(\mathcal{F})$ 에 적용하여 $S^1$-동치 플로어 코호몰로지와 순환 호몰로지 군을 복원한다.
• 경계 연산을 정의하기 위해 잊혀진 마킹점을 가진 매니폴드 공간에 보조 플로어 자료를 도입하며, 불안정한 스트립에 대해 이동 불변 자료를 포함한다.
• 매니폴드 공간 $\overline{\mathcal{R}}^{d,f_i}$ 의 델리니-무르포드 컴팩티피케이션을 적용하여 분열을 통제하고 개방-폐쇄 사상의 연산을 정의한다.
• 불변성과 호모토피 유일성 추론을 통해 $S^1$-동치 강화 $\widetilde{\mathcal{OC}}$ 가 펄럭션 자료 선택에 관계없이 호모토피 유일함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개방-폐쇄 사상 $\mathcal{OC}: \mathrm{CH}_*(\mathcal{F}) \to CF^*(M)$ 은 기술적 조건 $(\star)$ 하에 $C_*(S^1)$-모듈러의 $A_\infty$-준동형사상으로서의 $S^1$-동치 강화를 가질 수 있는가?
• RQ2 $S^1$-동치 강화 $\widetilde{\mathcal{OC}}$ 가 순환 호몰로지와 $S^1$-동치 플로어 코호몰로지 사이에 동형사상을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 푸카야 카테고리의 호크시드 호몰로지 위의 $S^1$-동치 작용은 플로어 이론을 통해 어떻게 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ4 이 $S^1$-동치 개방-폐쇄 사상은 푸카야 카테고리에 칼라비-야우 구조 존재에 대해 어떤 함의를 지니는가?
• RQ5 이 틀은 푸카야 카테고리의 매끄럽고 완전한 부분카테고리에 대해 비가환 Hodge-de Rham 분해의 순수하게 심플렉틱적 증명을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 기술적 조건 $(\star)$ 하에 개방-폐쇄 사상 $\mathcal{OC}$ 는 비동치성 문제를 해결하기 위해 고차 호모토피를 포함한 기하학적 $S^1$-동치 강화 $\widetilde{\mathcal{OC}}$ 를 $C_*(S^1)$-모듈러의 $A_\infty$-준동형사상으로서 가진다.
• $S^1$-동치 강화 $\widetilde{\mathcal{OC}}$ 는 호모토피 유일하므로, 펄럭션 자료 선택에 관계없이 강건하다.
• 비동치성 개방-폐쇄 사상 $\mathcal{OC}$ 가 동형사상이라면, 순환 호몰로지와 $S^1$-동치 플로어 코호몰로지 사이에 유도된 사상 역시 동형사상이다.
• 이 구성은 푸카야 카테고리에 기하학적 매끄럽고 완전한 칼라비-야우 구조를 제공하며, 특성 0에서 순환 $A_\infty$ 모델의 존재를 암시한다.
• 이 틀은 콤팩트 심플렉틱 다양체의 푸카야 카테고리의 매끄럽고 완전한 부분카테고리에 대해 비가환 Hodge-de Rham 분해 추측의 순수하게 심플렉틱적 증명을 제공한다.
• 잊혀진 마킹점을 가진 개방-폐쇄 사상은 $d > 2$ 에서는 0이며, $d = 2$ 에서는 항등사상이다. 이는 불안정한 경우의 비강성과 이동 불변성 때문이므로 발생한다.