[논문 리뷰] Cyclic random motions with orthogonal directions

Enzo Orsingher, Roberto Garra외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 29.

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한 줄 요약

이 논문은 $Ω^2$ 및 $Ω^3$에서 직교 방향을 가진 순환 랜덤 운동을 연구하며, 입자의 위치에 대한 명시적 조건부 및 무조건부 확률 분포를 유도한다. 이는 지배 방정식이 D’Alembert 연산자의 곱임을 보이며, 지수 변환을 통해 Klein-Gordon 방정식으로 축소되며, 한계에서 분산이 $1/d$인 열 방정식으로 수렴함을 보여주며, 해는 Bessel 함수로 표현되고 계수는 정규화 조건에 의해 결정된다.

ABSTRACT

A cyclic random motion at finite velocity with orthogonal directions is considered in the plane and in $\mathbb{R}^3$. We obtain in both cases the explicit conditional distributions of the position of the moving particle when the number of switches of directions is fixed. The explicit unconditional distributions are also obtained and are expressed in terms of Bessel functions. The governing equations are derived and given as products of D'Alembert operators. The limiting form of the equations is provided in the Euclidean space $\mathbb{R}^d$ and takes the form of a heat equation with infinitesimal variance $1/d$.

연구 동기 및 목표

• 순환 랜덤 운동의 직교 방향에 대한 $Ω^2$ 및 $Ω^3$에서의 입자 위치에 대한 명시적 조건부 및 무조건부 확률 분포를 유도하기 위해.
• 위치 분포의 지배 편미분 방정식을 특성화하여, 이들이 순서 $2d$의 D’Alembert 연산자의 곱임을 보여주기 위해.
• 해가 정규화 조건에 의해 결정되는 계수를 가진 Bessel 함수 도함수의 합 형태를 취함을 보장하기 위해.
• 방정식의 점근적 행동을 분석하여, $\lambda, c \to \infty$ 이면서 $c^2/\lambda \to 1$일 때 열 방정식 $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2d}\Delta p$로 수렴함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 운동이 $\mathbb{R}^d$에서 일어날 때, 순서 $2d$의 지배 방정식을 $\prod_{i=1}^{d}\left[\left(\frac{\partial}{\partial t}+\lambda\right)^2 - c^2\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\right]p - \lambda^{2d}p = 0$ 로 유도하기 위해.
• 방정식을 Klein-Gordon 유형으로 축소하기 위해 지수 변환 $p = e^{-\lambda t}w$ 를 적용하기 위해.
• 해를 $p(u,t) = e^{-\lambda t}\sum_{i=0}^{d}A_i\frac{\partial^i}{\partial t^i}I_0\left(\frac{\lambda}{c}\sqrt{c^2t^2 - u^2}\right)$ 형태로 표현하기 위해, 여기서 $I_0$ 는 제1종 수정 Bessel 함수이다.
• 정규화 조건 $\int_0^{ct} p(u,t) du = 1 - \sum_{k=0}^{d-1} \frac{(λ t)^k}{k!}e^{-\u03bb t}$ 을 만족시키기 위해 계수 $A_i$ 를 결정하기 위해.
• 동형체 고체(\mathbb{R}^2에서의 정사각형, \mathbb{R}^3에서의 정팔면체) 위의 분포 구조를 분석하여, 외부 껍질에서 균일함을 보여주기 위해.
• 척도 조건 $c^2/\lambda \to 1$ 하에서 지배 방정식이 열 방정식 $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2d}\Delta p$ 로 수렴함을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 \mathbb{R}^2 및 \mathbb{R}^3에서 직교 방향을 가진 순환 랜덤 운동을 수행하는 입자의 위치에 대한 명시적 조건부 및 무조건부 분포는 무엇인가요?
• RQ2 \mathbb{R}^d에서의 위치 분포에 대한 지배 편미분 방정식이 D’Alembert 및 Klein-Gordon 연산자와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ3 $\lambda, c \to \infty$ 이면서 $c^2/\lambda \to 1$일 때 지배 방정식의 점근적 행동은 어떻게 되나요?
• RQ4 해 전개의 계수 $A_i$ 는 분포의 정규화를 보장하기 위해 어떻게 결정되나요?
• RQ5 \mathbb{R}^d에서의 조건부 분포와 1차원에서의 접합 텔레그래프 과정 사이의 관계는 무엇인가요?

주요 결과

• \mathbb{R}^d에서의 무조건적 분포는 $p(u,t) = e^{-\lambda t}\sum_{i=0}^{d}A_i\frac{\partial^i}{\partial t^i}I_0\left(\frac{\lambda}{c}\sqrt{c^2t^2 - u^2}\right)$ 로 주어지며, 계수 $A_i$ 는 정규화로부터 유도된다.
• \mathbb{R}^2에서 분포는 외부 정사각형 $S^2_{ct}$와 동형인 정사각형 위에서 균일하며, 절대 연속 성분은 $z = \pm x \pm y$, $0 \leq z \leq ct$ 에서 지원된다.
• \mathbb{R}^3에서 분포는 외부 정팔면체 $S^3_{ct}$와 동형인 정팔면체 위에서 균일하며, $N(t)=2k+1$ 또는 $2k+2$ 조건 하에서 $\mathcal{U}(t)$ 의 조건부 밀도가 명시적으로 유도된다.
• \mathbb{R}^3에서 $N(t)=2k+1$ 조건 하에서 $\mathcal{U}(t)$ 의 조건부 분포는 $\Pr\{\mathcal{U}(t)\in du|N(t)=2k+1\} = \frac{(2k+1)!}{2^{2k}(ct)^{2k+1}(k-1)!(k+1)!}(c^2t^2 - u^2)^{k-1}(c^2t^2 + u^2)du$, $k \geq 1$ 이다.
• \mathbb{R}^3에서 $N(t)=2k+2$ 조건 하에서 $\mathcal{U}(t)$ 의 조건부 분포는 $\Pr\{\mathcal{U}(t)\in du|N(t)=2k+2\} = \frac{(2k+2)!}{(k+2)!(k-1)!}\frac{(c^2t^2 - u^2)^{k-1}}{(2ct)^{2k+1}}(c^2t^2 + 3u^2)du$, $k \geq 1$ 이다.
• 지배 방정식은 $\lambda, c \to \infty$ 이면서 $c^2/\lambda \to 1$ 일 때 열 방정식 $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2d}\Delta p$ 로 수렴하며, 무한소 분산은 $1/d$ 이다.